दशमलव संख्या क्या है। देखें कि "दशमलव अंक" अन्य शब्दकोशों में क्या है। दशमलव संख्या प्रणाली क्या है।

दशमलव संख्याएं

दशमलव कोडिंग

जब डिजिटल कंप्यूटर में दशमलव संख्याओं का उपयोग किया जाता है, तो उन्हें बाइनरी अंकों के समूह द्वारा एन्कोड किया जाता है। एक दशमलव अंक का प्रतिनिधित्व करने के लिए कम से कम चार बाइनरी अंक लगते हैं। एक दशमलव अंक और उसके द्विआधारी प्रतिनिधित्व के बीच के पत्राचार को दशमलव अंक का द्विआधारी कोड कहा जाता है। सबसे प्राकृतिक अंकों के प्राकृतिक भार के साथ स्थितीय बाइनरी कोड द्वारा दशमलव अंकों का एन्कोडिंग है. ऐसे कोड को कहा जाता है कोड "8421"।

"8421" कोड में दशमलव अंकों को एन्कोड करने का नुकसान दशमलव और हेक्साडेसिमल स्थानान्तरण के वजन के बीच की विसंगति है।

इस विरोधाभास को हल करने के लिए, आप दशमलव अंकों को एन्कोड करने के अन्य तरीके चुन सकते हैं। उदाहरण के लिए, कोड "8421+3" (3 से अधिक के साथ कोड) आपको जोड़ते समय "6 से अधिक के साथ" योग प्राप्त करने की अनुमति देता है, जबकि कैरी वेट दशमलव से मेल खाता है।

दशमलव अंकों को एन्कोड करते समय बाइनरी अंकों के ऐसे भार चुनना संभव है ताकि उनका योग 10 हो, उदाहरण के लिए, कोड "5211"। लेकिन साथ ही, दशमलव अंकों के पत्राचार और उनके द्विआधारी प्रतिनिधित्व की कार्यक्षमता की संपत्ति का उल्लंघन किया जाता है। इस कमी को दूर करने के लिए, कोड के कम से कम महत्वपूर्ण बिट्स हमेशा पहले भरे जाते हैं।

तालिका 4 द्विआधारी संख्याओं में दशमलव अंकों के कुछ एन्कोडिंग दिखाती है।

तालिका 4 बाइनरी कोडदशमलव अंक

दशमलव संख्याओं पर अंकगणितीय संचालन विशेष दशमलव योजक और साधारण बाइनरी योजक दोनों पर किया जा सकता है। बाद के मामले में, दशमलव संख्याओं को द्विआधारी अंकगणित के नियमों के अनुसार संसाधित किया जाता है, और परिणाम को ठीक करने की आवश्यकता होती है।

दशमलव संख्याओं के साथ अंकगणितीय संचालन

"8421" कोड में दशमलव संख्याओं को जोड़ने के संचालन पर विचार करें।

उदाहरण 43. संख्या 4754 और 2917 जोड़ें।

ए = 4754 = 0100 0111 0101 0100

बी = 2917 = 0010 1001 0001 0111

सी=7671=111 0000 0110 1011

यदि टेट्राड्स का योग 9 से अधिक है लेकिन 15 से कम है (इस उदाहरण में चौथा टेट्राड), तो बाइनरी ट्रांसफर नहीं बनता है, इस मामले में एक कृत्रिम स्थानांतरण विकसित करना और टेट्राड से 10 को हटाना आवश्यक है, जो इससे मेल खाता है एक छह (0110) के अलावा और आवश्यक रूप से उत्पन्न होने वाले संचरण को अगले उच्च अंक तक ले जाया जाता है।

यदि टेट्राड (इस उदाहरण में दूसरा टेट्राड) से एक द्विआधारी स्थानांतरण था, तो यह टेट्राड से "16 दूर" ले गया, जबकि दशमलव हस्तांतरण केवल 10 को "दूर ले जाना" चाहिए। ऐसे टेट्राड में छक्के भी जोड़े जाने चाहिए:

0111 0000 0110 ← 1011

0110 0110

0111 0110 0111 0001

उदाहरण 44. संख्या 3852 और 5179 जोड़ें।

ए = 3852 = 0011 1000 0101 0010

बी = 5179 = 0101 0001 0111 1001

सी=9031=1000 1001 11001011

1000 1001 ← 1100 ← 1011

0110 0110

1000 1010 0011 0001

और अंत में

1000 ← 1010 0011 0001

0110_____________

1001 0000 0011 0001

ऐसा हो सकता है कि पुरानी नोटबुक को भी समायोजित करने की आवश्यकता हो।

उदाहरण 45.संख्या 9999 + 1 जोड़ें।

ए = 9999 = 1001 1001 1001 1001

बी = 0001 = 0000 0000 0000 0001

सी = 10000 = 1001 1001 1001 1010

1001 1001 1001 ← 1010

1001 1001 1010 0000

1001 1001← 1010 0000

0110______

1001 1010 0000 0000

1001 ← 1010 0000 0000

0110____________

1010 0000 0000 0000

और अंत में

←1010 0000 0000 0000

____ 0110___________________

0001 0000 0000 0000 0000

"8421" कोड का उपयोग करने के नुकसान:

― न केवल टेट्राड्स से स्थानान्तरण को ट्रैक करना आवश्यक है, बल्कि प्रारंभिक योग टेट्राड्स के मॉड्यूल के मूल्यों को भी ट्रैक करना आवश्यक है;

― सामान्य स्थिति में, सभी टेट्राडों में एक साथ सुधार करना असंभव है जहां सुधार की आवश्यकता हो सकती है।.

कोड "8421 + 3" में जोड़ें।इस कोड में, प्रत्येक दशमलव अंक को के रूप में दर्शाया गया है एक मैं’=एक मैं+0011, जहां एक मैं- कोड "8421" अंक। फिर

सी मैं हो=(एक मैं+3)+(बी मैं+3)+काम पर 1 =एक मैं+बी मैं+काम पर 1 +6,

कहाँ पे सी मैं हो- प्रारंभिक राशि, दशमलव हस्तांतरण का सही मान हमेशा टेट्राड में बनेगा, क्योंकि यदि एक मैं+बी मैं+काम पर 1 >9, तब एक मैं+बी मैं+काम पर 1 +6>15.

यदि कोई स्थानांतरण नहीं था, तो परिणाम "6 से अधिक के साथ" बनता है, इसलिए, एक तिहाई जोड़कर और स्थानांतरण (16 का नुकसान) को अनदेखा करके अतिरिक्त छह को टेट्राड से निकालना आवश्यक है।

अगर कोई कैरी था, तो उसका वजन 16 है, और दशमलव कैरी का वजन 10 है। यानी, कैरी अतिरिक्त 6 को वहन करता है, जिसे सुधार के दौरान जोड़ा जाना चाहिए। लेकिन चूंकि "3 की अधिकता के साथ" टेट्राड्स को जोड़ने से "6 से अधिक" का योग बनता है, इसलिए, एक छक्का जोड़ने के बजाय, यह एक तिहाई जोड़ने के लिए पर्याप्त है।

यही है, प्रारंभिक राशि के सभी टेट्राड कोड "8421 + 3" में सुधार के अधीन हैं।

लाभ:

― सुधार केवल प्रारंभिक राशि के टेट्राड से स्थानान्तरण के मूल्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है;

― सभी अंकों में समानांतर में सुधार किया जा सकता है.

कार्य।

दशमलव संख्याएँ जोड़ें:

1) 4824 और 2901;

2) 8572 और 7760;

3) 1086 और 4732;

4) 3351 और 3087;

5) 6658 और 3928;

जिस क्षण से एक व्यक्ति ने पहली बार दुनिया में एक स्वायत्त वस्तु के रूप में खुद को जागरूक किया, चारों ओर देखा, विचारहीन अस्तित्व के दुष्चक्र को तोड़कर, उसने अध्ययन करना शुरू कर दिया। मैंने देखा, तुलना की, विचार किया, निष्कर्ष निकाला। इन प्रतीत होने वाली प्रारंभिक क्रियाओं पर, जो अब एक बच्चे की शक्ति के भीतर हैं, आधुनिक विज्ञान आधारित होने लगे।

हम किसके साथ काम करेंगे?

सबसे पहले आपको यह तय करने की आवश्यकता है कि सामान्य रूप से एक संख्या प्रणाली क्या है। यह संख्याओं को लिखने का एक सशर्त सिद्धांत है, उनका दृश्य प्रतिनिधित्व, जो अनुभूति की प्रक्रिया को सरल करता है। अपने आप में, संख्याएँ मौजूद नहीं हैं (हमें पाइथागोरस क्षमा करें, जिन्होंने संख्या को ब्रह्मांड का आधार माना)। यह केवल एक अमूर्त वस्तु है जिसका केवल गणनाओं में एक भौतिक औचित्य है, एक प्रकार का माप। अंक वे वस्तुएँ हैं जिनसे एक संख्या की रचना होती है।

शुरू

पहला सचेत खाता सबसे आदिम प्रकृति का था। अब इसे गैर-स्थितीय संख्या प्रणाली कहने की प्रथा है। व्यवहार में, यह एक संख्या है जिसमें इसके घटक तत्वों की स्थिति महत्वहीन होती है। उदाहरण के लिए, साधारण डैश लें, जिनमें से प्रत्येक एक निश्चित वस्तु से मेल खाता है: तीन लोग ||| के बराबर हैं। यह पसंद है या नहीं, तीन डैश अभी भी वही तीन डैश हैं। यदि हम करीब से उदाहरण लेते हैं, तो प्राचीन नोवगोरोडियन ने गिनती करते समय स्लाव वर्णमाला का उपयोग किया था। यदि अक्षर के ठीक ऊपर की संख्या को उजागर करना आवश्यक था, तो वे बस ~ चिह्न लगाते हैं। इसके अलावा, पत्र को प्राचीन रोमनों द्वारा उच्च सम्मान में रखा गया था, जहां संख्याएं फिर से अक्षर हैं, लेकिन पहले से ही हैं

प्राचीन शक्तियों के अलगाव के कारण, उनमें से प्रत्येक ने स्वतंत्र रूप से विज्ञान विकसित किया, जो भी था वह कितना भी था। यह उल्लेखनीय है कि वैकल्पिक दशमलव संख्या प्रणाली मिस्रवासियों द्वारा विकसित की गई थी। हालाँकि, इसे हमारे परिचित अवधारणा का "रिश्तेदार" नहीं माना जा सकता है, क्योंकि गिनती का सिद्धांत अलग था: मिस्र के निवासियों ने दस नंबर को आधार के रूप में इस्तेमाल किया, डिग्री के साथ काम किया।

विश्व के संज्ञान की प्रक्रिया के विकास और जटिलता के साथ, श्रेणियों को अलग करने की आवश्यकता थी। कल्पना कीजिए कि आपको किसी तरह राज्य की सेना के आकार को ठीक करने की आवश्यकता है, जिसे हजारों (सर्वोत्तम) में मापा जाता है। अच्छा अब, अंतहीन रूप से लाठी लिखो? इस वजह से, उन वर्षों के सुमेरियन वैज्ञानिकों ने एक संख्या प्रणाली की पहचान की जिसमें प्रतीक का स्थान उसकी श्रेणी द्वारा निर्धारित किया गया था। फिर से, एक उदाहरण: संख्या 789 और 987 में समान "रचना" है, लेकिन, संख्याओं की व्यवस्था में परिवर्तन के कारण, दूसरा बहुत बड़ा है।

यह क्या है - दशमलव संख्या प्रणाली? दलील

बेशक, सभी मतगणना विधियों के लिए स्थिति और नियमितता समान नहीं थी। उदाहरण के लिए, बेबीलोन में, आधार संख्या 60 थी, ग्रीस में - वर्णमाला प्रणाली (संख्या अक्षरों से बनी थी)। उल्लेखनीय है कि बाबुल के निवासियों को गिनने की पद्धति आज तक जीवित है - इसने खगोल विज्ञान में अपना स्थान पाया है।

हालाँकि, जिसमें संख्या प्रणाली का आधार दस है, वह जड़ और फैल गया है, क्योंकि मानव हाथों की उंगलियों के साथ एक फ्रैंक समानांतर है। अपने लिए न्यायाधीश - बारी-बारी से अपनी उंगलियों को झुकाकर, आप लगभग एक अनंत संख्या तक गिन सकते हैं।

इस प्रणाली की शुरुआत भारत में हुई थी, और यह तुरंत "10" के आधार पर प्रकट हुई। संख्याओं के नामों का गठन दुगना था - उदाहरण के लिए, 18 को एक शब्द में "अठारह" और "दो से बीस" दोनों के रूप में लिखा जा सकता है। इसके अलावा, यह भारतीय वैज्ञानिक थे जिन्होंने इस तरह की अवधारणा को "शून्य" के रूप में सामने लाया, आधिकारिक तौर पर इसकी उपस्थिति 9वीं शताब्दी में दर्ज की गई थी। यह वह कदम था जो शास्त्रीय स्थितीय संख्या प्रणालियों के निर्माण में मौलिक बन गया, क्योंकि शून्य, इस तथ्य के बावजूद कि यह शून्यता का प्रतीक है, कुछ भी नहीं, अंकों की संख्या को बनाए रखने में सक्षम है ताकि यह अपना अर्थ न खोए। उदाहरण के लिए: 100000 और 1। पहली संख्या में 6 अंक शामिल हैं, जिनमें से पहला एक है, और अंतिम पाँच शून्यता, अनुपस्थिति को दर्शाता है, और दूसरी संख्या सिर्फ एक है। तार्किक रूप से, उन्हें समान होना चाहिए, लेकिन व्यवहार में यह मामला से बहुत दूर है। 100000 में शून्य उन बिट्स की उपस्थिति का संकेत देते हैं जो दूसरे नंबर में नहीं हैं। यह आपके लिए "कुछ नहीं" है।

आधुनिकता

दशमलव संख्या प्रणाली में शून्य से नौ तक के अंक होते हैं। इसके ढांचे के भीतर संकलित संख्याएँ निम्नलिखित सिद्धांत के अनुसार बनाई गई हैं:

सबसे दाहिना अंक इकाइयों के लिए है, एक कदम बाईं ओर ले जाएं - दहाई प्राप्त करें, बाईं ओर एक और कदम - सैकड़ों और इसी तरह। कठिन? ऐसा कुछ नहीं! वास्तव में, दशमलव प्रणाली बहुत ही उदाहरणात्मक उदाहरण प्रदान कर सकती है, कम से कम संख्या 666 लें। इसमें तीन अंक 6 होते हैं, जिनमें से प्रत्येक अपनी श्रेणी को इंगित करता है। इसके अलावा, रिकॉर्डिंग का यह रूप मुड़ा हुआ है। यदि आप इस बात पर जोर देना चाहते हैं कि हम किस प्रकार की संख्या के बारे में बात कर रहे हैं, तो हर बार जब आप संख्या देखते हैं तो आपकी आंतरिक आवाज "क्या कहती है" को लिखित रूप देकर इसका विस्तार किया जा सकता है - "छः सौ छियासठ"। लेखन में सभी समान इकाइयाँ, दहाई और सैकड़ों शामिल हैं, अर्थात स्थिति के प्रत्येक अंक को एक निश्चित 10 से गुणा किया जाता है। विस्तारित रूप निम्नलिखित अभिव्यक्ति है:

666 10 \u003d 6x10 2 + 6 * 10 1 + 6 * 10 0 \u003d 600 + 60 + 6।

वास्तविक विकल्प

दशमलव संख्या प्रणाली के बाद दूसरा सबसे लोकप्रिय एक काफी युवा किस्म है - यह सर्वव्यापी लाइबनिज़ के लिए धन्यवाद प्रकट हुआ, जो मानते थे कि अध्ययन में विशेष रूप से कठिन मामलों में, द्विआधारी दशमलव से अधिक सुविधाजनक होगा। यह डिजिटल प्रौद्योगिकियों के विकास के साथ व्यापक हो गया, क्योंकि इसके आधार पर नंबर 2 है, और इसमें तत्व संख्या 1 और 2 से बने हैं।

इस प्रणाली में सूचना एन्कोडिंग होती है, 1 से - एक संकेत की उपस्थिति, 0 - इसकी अनुपस्थिति। इस सिद्धांत के आधार पर, कई अच्छे उदाहरण, दशमलव संख्या प्रणाली में रूपांतरण का प्रदर्शन।

समय के साथ, प्रोग्रामिंग से जुड़ी प्रक्रियाएं और अधिक जटिल हो गईं, इसलिए उन्होंने संख्याओं को लिखने के तरीके पेश किए जिनका आधार 8 और 16 है। वास्तव में उन्हें ही क्यों? सबसे पहले, वर्णों की संख्या अधिक है, जिसका अर्थ है कि संख्या स्वयं कम होगी, और दूसरी बात, वे दो की शक्ति पर आधारित हैं। ऑक्टल 0-7 अंकों से बना होता है, जबकि हेक्साडेसिमल दशमलव के समान अंकों से बना होता है और अक्षर A से F तक होता है।

संख्या अनुवाद के सिद्धांत और तरीके

दशमलव संख्या प्रणाली में परिवर्तित करना सरल है, यह निम्नलिखित सिद्धांत का पालन करने के लिए पर्याप्त है: मूल संख्या को बहुपद के रूप में लिखा जाता है, जिसमें आधार "2" द्वारा प्रत्येक संख्या के उत्पादों के योग होते हैं, जिन्हें उपयुक्त तक बढ़ाया जाता है शक्ति।

गणना के लिए मूल सूत्र:

x2 = y k 2 k-1 + y k-1 2 k-2 + y k-2 2 k-3 + ...+ y 2 2 1 + y 1 2 0 ।

अनुवाद उदाहरण

आइए कुछ भावों पर एक नज़र डालें:

101111 2 = (1x2 5) + (0x2 4) + (1x2 3) + (1x2 2) + (1x2 1) + (1x2 0) = 32 + 8 + 4 + 2 + 1 = 47 10।

आइए कार्य को जटिल करें, क्योंकि सिस्टम में भिन्नात्मक संख्याओं का अनुवाद शामिल है, इसके लिए हम अलग से पूर्णांक और अलग से भिन्नात्मक भाग पर विचार करेंगे - 111110.11 2. तो:

111110.11 2 = (1x2 5) + (1x2 4) + (1x2 3) + (1x2 2) + (1x2 1) + (0x2 0) = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 = 62 10;

11 2 \u003d 2 -1 x1 + 2 -2 x1 \u003d 1/2 + 1/4 \u003d 0.75 10.

नतीजतन, हमें वह 111110.11 2 \u003d 62.75 10 मिलता है।

निष्कर्ष

सभी "प्राचीनता" के बावजूद, दशमलव संख्या प्रणाली, जिसके उदाहरणों पर हमने ऊपर विचार किया है, अभी भी "घोड़े की पीठ पर" है और इसे लिखा नहीं जाना चाहिए। यह वह है जो स्कूल में गणितीय आधार बन जाती है, उसके उदाहरण पर गणितीय तर्क के नियम सीखे जाते हैं, सत्यापित संबंध बनाने की क्षमता प्राप्त होती है। क्यों, लगभग पूरी दुनिया इस विशेष प्रणाली का उपयोग करती है, इसकी अप्रासंगिकता से शर्मिंदा नहीं है। इसका केवल एक ही कारण है: यह सुविधाजनक है। सिद्धांत रूप में, खाते का कोई भी आधार निकाला जा सकता है, यदि आवश्यक हो, तो एक सेब भी बन जाएगा, लेकिन यह जटिल क्यों है? यदि आवश्यक हो तो अंकों की एक आदर्श रूप से सत्यापित संख्या को उंगलियों पर गिना जा सकता है।