विषय: "कम से कम सामान्य एकाधिक", ग्रेड 6, यूएमके विलेनकिन एन.वाईए।

पाठ प्रकार: नए ज्ञान की "खोज"।

बुनियादी लक्ष्य।

कम से कम सामान्य गुणक की परिभाषा का निर्माण करें, एलसीएम खोजने के लिए एल्गोरिदम। एनओसी खोजने की क्षमता बनाने के लिए।

ट्रेन की क्षमता

अभाज्य और भाज्य संख्या की अवधारणाओं के उपयोग के लिए;

2, 3, 5, 9, 10 से विभाज्यता के लक्षण:

एनओसी खोजने के विभिन्न तरीके:

प्रतिच्छेदन और सेटों के मिलन को खोजने के लिए एल्गोरिदम;

3) कारक बनाने की क्षमता को प्रशिक्षित करें।

मैं गतिविधि के लिए आत्मनिर्णय।

चलो एक कसरत करते हैं। बच्चों को विकल्पों के अनुसार समूहों में बांटा गया है। पहले एक कार्य के साथ एक कार्ड लें और अपने समूह को घोषणा करें:

पहला - 2 से विभाज्यता का चिन्ह;

2 - 3 से विभाज्यता का संकेत;

3 - 5 से विभाज्यता का संकेत;

चौथा - 9 से विभाज्यता का संकेत;

5 वां - 10 से विभाज्यता का संकेत;

6 वां - 2 से विभाज्यता का संकेत ..

प्रस्तुति स्क्रीन पर संख्याएँ दिखाई देती हैं: 51, 22, 37, 191, 163, 88, 47, 133, 152, 202, 403, 75, 507, 609, 708, और बच्चों को अपनी नोटबुक में वे संख्याएँ लिखनी चाहिए जो हैं असाइनमेंट द्वारा निर्धारित (या अपने स्थान से उठें, यदि उन्हें दिया गया चिन्ह संख्या पर लागू किया जा सकता है)

दोस्तों, आपको विभाज्यता के संकेतों को जानने की आवश्यकता क्यों है? (फैक्टरिंग संख्या के लिए)

द्वितीय. ज्ञान अद्यतन

भाजक की संख्या के अनुसार सभी प्राकृत संख्याओं को किन वर्गों में विभाजित किया जा सकता है? (अभाज्य और यौगिक में और 1)

कौन सी संख्याएँ प्रधान कहलाती हैं? (केवल दो भाजक वाली संख्याएं)

कुछ अभाज्य संख्याओं की सूची बनाएं) (2,3,5,7,9,11,13,17,…)

मुझे बताओ, किन समस्याओं के लिए प्रमुख कारकों में अपघटन का उपयोग किया जाता है? (सबसे बड़ा सामान्य भाजक ढूँढना (पिछले पाठों में सीखा))

जीसीडी खोजने के लिए एल्गोरिदम क्या है? (जीसीडी खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म गुणनखंड का उपयोग करके तैयार किया गया है)

18 और 24 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए?

कैसी लगी। बच्चों के साथ बुलाया जाता है विभिन्न तरीके GCD का पता लगाना (संख्याओं के सभी भाजक को अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन के माध्यम से लिखकर)।

प्रत्येक संख्या के लिए GCD की तुलना करें।

III. शैक्षिक कार्य का विवरण और गतिविधि की कठिनाई का निर्धारण

ऐसी 8 संख्याएँ लिखिए जो 18 (18, 36, 54, 72, 90, 108. 126, 144) के गुणज हों।

ऐसी 6 संख्याएँ लिखिए जो 24 (24, 48, 72, 96, 120, 144) के गुणज हों।

इन संख्याओं के सामान्य गुणज: 72. 144

संख्या 72 को नाम दें (इन संख्याओं में से कम से कम सामान्य गुणक: 72)

तो, आज के पाठ का विषय तैयार करें (कम से कम सामान्य गुणक)

पाठ का उद्देश्य क्या है? (एनओसी ढूंढना सीखें)

हमने एलसीएम को चयन द्वारा पाया, लेकिन एलसीएम को खोजने के लिए अन्य किस विधि का उपयोग किया जा सकता है? (अभाज्य कारकों में अपघटन की विधि द्वारा)

इस पद्धति का सार क्या है?

चतुर्थ। कठिनाई से बाहर निकलने के लिए एक परियोजना का निर्माण

बच्चों के साथ मिलकर एनओसी खोजने के लिए एक एल्गोरिथम तैयार किया जाता है।

इसके लिए आपको चाहिए:

एलसीएम (18, 24) = 24 * 3 = 72

V. बाहरी भाषण में प्राथमिक समेकन।

कार्यपुस्तिका, पृष्ठ 28 नंबर 3 एबीसी

उपरोक्त प्रस्तावित योजना के अनुसार व्युत्पन्न एल्गोरिथम के अनुसार टिप्पणी के साथ कार्य किए जाते हैं।

VI. मानक के अनुसार स्व-परीक्षण के साथ स्वतंत्र कार्य

छात्र स्वतंत्र रूप से नंबर 181 (एबीसीजी) प्रदर्शन करते हैं

सही फैसला किया

त्रुटियों को ठीक किया जाता है, उनके कारणों की पहचान की जाती है और उन्हें बोला जाता है।

इस समय, कार्य को सही ढंग से पूरा करने वाले छात्र संख्या 183 . भी कर सकते हैं

सातवीं। ज्ञान प्रणाली में समावेश और दोहराव.

इस स्तर पर स्वतंत्र कार्य में गलती करने वाले छात्र नंबर 4 आरटी करते हैं ( कार्यपुस्तिका, पी. 29) कम से कम सामान्य गुणक खोजने के लिए।

बाकी छात्र समूह संख्या 193, 161, 192 में निर्णय लेते हैं

कप्तान समाधान प्रस्तुत करते हैं।

आठवीं। गतिविधि का प्रतिबिंब। (पाठ का परिणाम)।

- इन संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणज क्या है?

इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य क्या है?

कम से कम सामान्य गुणक कैसे खोजें?

0 से 1 तक के खंड के छात्र समझ के स्तर को दर्शाने वाली एक आकृति बनाते हैं नया विषय, उदाहरण के लिए

IX. गृहकार्य.

P.7 पीपी. 29-30, संख्या 202, 204, 206 (एबी) अतिरिक्त (वैकल्पिक) संख्या 209 अगले पाठ में एक प्रस्तुति के साथ।

एलसीएम की गणना कैसे करें यह समझने के लिए, आपको पहले "एकाधिक" शब्द का अर्थ निर्धारित करना चाहिए।

A का गुणज एक प्राकृत संख्या है जो बिना शेषफल के A से विभाज्य है। इस प्रकार, 15, 20, 25, इत्यादि को 5 का गुणज माना जा सकता है।

किसी विशेष संख्या के भाजक सीमित संख्या में हो सकते हैं, लेकिन अनंत गुणज होते हैं।

प्राकृत संख्याओं का एक उभयनिष्ठ गुणज एक ऐसी संख्या है जो उनके द्वारा शेषफल के बिना विभाज्य होती है।

संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य कैसे ज्ञात करें

संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) (दो, तीन या अधिक) वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या है जो इन सभी संख्याओं से समान रूप से विभाज्य है।

एनओसी खोजने के लिए आप कई तरीकों का इस्तेमाल कर सकते हैं।

छोटी संख्याओं के लिए, इन संख्याओं के सभी गुणजों को एक पंक्ति में तब तक लिखना सुविधाजनक होता है जब तक कि उनमें से एक सामान्य न मिल जाए। रिकॉर्ड में गुणकों को बड़े अक्षर K से दर्शाया जाता है।

उदाहरण के लिए, 4 के गुणज इस प्रकार लिखे जा सकते हैं:

के(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

के(6) = (12, 18, 24, ...)

तो, आप देख सकते हैं कि संख्या 4 और 6 का सबसे छोटा सामान्य गुणक संख्या 24 है। यह प्रविष्टि इस प्रकार की जाती है:

एलसीएम(4, 6) = 24

यदि संख्याएँ बड़ी हैं, तो तीन या अधिक संख्याओं का सार्व गुणज ज्ञात कीजिए, तो LCM की गणना के लिए किसी अन्य तरीके का उपयोग करना बेहतर है।

कार्य को पूरा करने के लिए, प्रस्तावित संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित करना आवश्यक है।

सबसे पहले आपको एक पंक्ति में सबसे बड़ी संख्याओं का विस्तार लिखना होगा, और उसके नीचे - बाकी।

प्रत्येक संख्या के विस्तार में भिन्न भिन्न गुणनखंड हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए संख्या 50 और 20 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणित करें।

छोटी संख्या के अपघटन में, उन कारकों को रेखांकित करना चाहिए जो पहली सबसे बड़ी संख्या के अपघटन में अनुपस्थित हैं, और फिर उन्हें इसमें जोड़ दें। प्रस्तुत उदाहरण में, एक ड्यूस गायब है।

अब हम 20 और 50 के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना कर सकते हैं।

एलसीएम (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

इस प्रकार, बड़ी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों और दूसरी संख्या के गुणनखंडों का गुणनफल, जो बड़ी संख्या के अपघटन में शामिल नहीं हैं, अल्पतम समापवर्तक होंगे।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, उन सभी को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाना चाहिए, जैसा कि पिछले मामले में था।

उदाहरण के तौर पर, आप 16, 24, 36 संख्याओं का सबसे छोटा सा सामान्य गुणज ज्ञात कर सकते हैं।

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

तो, सोलह के अपघटन से केवल दो ड्यूस (एक चौबीस के अपघटन में है) एक बड़ी संख्या के गुणनखंड में प्रवेश नहीं किया।

इस प्रकार, उन्हें बड़ी संख्या के अपघटन में जोड़ने की आवश्यकता है।

एलसीएम (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

कम से कम सामान्य गुणक निर्धारित करने के विशेष मामले हैं। इसलिए, यदि संख्याओं में से एक को शेषफल के बिना दूसरे से विभाजित किया जा सकता है, तो इनमें से बड़ी संख्या सबसे छोटी सामान्य गुणज होगी।

उदाहरण के लिए, बारह और चौबीस की एनओसी चौबीस होगी।

यदि ऐसे सहअभाज्य संख्याओं का अल्पतम समापवर्तक ज्ञात करना आवश्यक है जिनमें समान भाजक नहीं हैं, तो उनका LCM उनके गुणनफल के बराबर होगा।

उदाहरण के लिए, एलसीएम(10, 11) = 110।

आइए एलसीएम - कम से कम सामान्य एकाधिक, परिभाषा, उदाहरण अनुभाग में शुरू किए गए कम से कम सामान्य गुणक के बारे में चर्चा जारी रखें। इस विषय में, हम तीन या अधिक संख्याओं के लिए एलसीएम खोजने के तरीकों को देखेंगे, हम इस प्रश्न का विश्लेषण करेंगे कि ऋणात्मक संख्या का एलसीएम कैसे खोजा जाए।

gcd . के माध्यम से कम से कम सामान्य गुणक (LCM) की गणना

हम पहले ही सबसे छोटे सामान्य गुणक और सबसे बड़े सामान्य भाजक के बीच संबंध स्थापित कर चुके हैं। अब आइए जानें कि GCD के माध्यम से LCM को कैसे परिभाषित किया जाए। सबसे पहले, आइए जानें कि सकारात्मक संख्याओं के लिए यह कैसे करें।

परिभाषा 1

आप सूत्र LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) का उपयोग करके सबसे बड़े सामान्य भाजक के माध्यम से कम से कम सामान्य गुणक पा सकते हैं।

उदाहरण 1

संख्या 126 और 70 का LCM ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान

आइए a = 126 , b = 70 लें। सबसे बड़े उभयनिष्ठ भाजक LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) के माध्यम से अल्पतम समापवर्त्य की गणना के लिए सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें।

संख्या 70 और 126 की GCD ज्ञात करता है। इसके लिए हमें यूक्लिड एल्गोरिथम की आवश्यकता है: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, इसलिए जीसीडी (126 , 70) = 14 .

आइए एलसीएम की गणना करें: एलसीएम (126, 70) = 126 70: जीसीडी (126, 70) = 126 70: 14 = 630।

उत्तर:एलसीएम (126, 70) = 630।

उदाहरण 2

68 और 34 की संख्या ज्ञात कीजिए।

समाधान

इस मामले में जीसीडी खोजना आसान है, क्योंकि 68, 34 से विभाज्य है। सूत्र का उपयोग करके कम से कम सामान्य गुणक की गणना करें: एलसीएम (68, 34) = 68 34: जीसीडी (68, 34) = 68 34: 34 = 68।

उत्तर:एलसीएम (68, 34) = 68।

इस उदाहरण में, हमने सकारात्मक पूर्णांकों a और b के सबसे छोटे सामान्य गुणकों को खोजने के लिए नियम का उपयोग किया है: यदि पहली संख्या दूसरी संख्या से विभाज्य है, तो इन संख्याओं का LCM पहली संख्या के बराबर होगा।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं का गुणनखंडन करके LCM ज्ञात करना

अब आइए एलसीएम को खोजने का एक तरीका देखें, जो संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन पर आधारित है।

परिभाषा 2

कम से कम सामान्य गुणक खोजने के लिए, हमें कई सरल चरण करने होंगे:

• हम संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल बनाते हैं जिसके लिए हमें LCM ज्ञात करने की आवश्यकता होती है;
• हम सभी प्रमुख कारकों को उनके प्राप्त उत्पादों से बाहर करते हैं;
• सामान्य अभाज्य गुणनखंडों को समाप्त करने के बाद प्राप्त उत्पाद दी गई संख्याओं के एलसीएम के बराबर होगा।

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने का यह तरीका समानता LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) पर आधारित है। यदि आप सूत्र को देखें, तो यह स्पष्ट हो जाता है: संख्याओं a और b का गुणनफल उन सभी कारकों के गुणनफल के बराबर होता है जो इन दो संख्याओं के विस्तार में शामिल होते हैं। इस मामले में, दो संख्याओं का GCD उन सभी अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के बराबर होता है जो इन दो संख्याओं के गुणनखंडों में एक साथ मौजूद होते हैं।

उदाहरण 3

हमारे पास दो नंबर 75 और 210 हैं। हम उन्हें इस तरह से निकाल सकते हैं: 75 = 3 5 5तथा 210 = 2 3 5 7. यदि आप दो मूल संख्याओं के सभी गुणनखंडों का गुणनफल बनाते हैं, तो आपको प्राप्त होता है: 2 3 3 5 5 5 7.

यदि हम दोनों संख्याओं के सामान्य गुणनखंड 3 और 5 को हटा दें, तो हमें गुणनफल प्राप्त होता है निम्नलिखित प्रकार: 2 3 5 5 7 = 1050. यह उत्पाद संख्या 75 और 210 के लिए हमारा एलसीएम होगा।

उदाहरण 4

संख्याओं का LCM ज्ञात कीजिए 441 तथा 700 , दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में अपघटित करना।

समाधान

आइए शर्त में दी गई संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

हमें संख्याओं की दो श्रृंखलाएँ मिलती हैं: 441 = 3 3 7 7 और 700 = 2 2 5 5 7।

इन संख्याओं के विस्तार में भाग लेने वाले सभी कारकों का गुणनफल इस तरह दिखेगा: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. आइए सामान्य कारक खोजें। यह संख्या 7 है। हम इसे सामान्य उत्पाद से बाहर करते हैं: 2 2 3 3 5 5 7 7. यह पता चला है कि एनओसी (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

उत्तर:एलसीएम (441 , 700) = 44 100।

आइए हम संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करके LCM ज्ञात करने की विधि का एक और सूत्रीकरण दें।

परिभाषा 3

पहले, हमने दोनों संख्याओं के सामान्य कारकों की कुल संख्या से बाहर रखा था। अब हम इसे अलग तरीके से करेंगे:

• आइए दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें:
• पहली संख्या के अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल में दूसरी संख्या के लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें;
• हमें वह गुणनफल प्राप्त होता है, जो दो संख्याओं का वांछित LCM होगा।

उदाहरण 5

आइए 75 और 210 की संख्या पर वापस जाएं, जिसके लिए हम पिछले उदाहरणों में से एक में एलसीएम की तलाश कर चुके हैं। आइए उन्हें सरल कारकों में विभाजित करें: 75 = 3 5 5तथा 210 = 2 3 5 7. गुणनखंड 3 , 5 और . के गुणनफल के लिए 5 संख्या 75 लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें 2 तथा 7 संख्या 210। हम पाते हैं: 2 3 5 5 7 .यह संख्या 75 और 210 का LCM है।

उदाहरण 6

84 और 648 संख्याओं के एलसीएम की गणना करना आवश्यक है।

समाधान

आइए स्थिति से संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित करें: 84 = 2 2 3 7तथा 648 = 2 2 2 3 3 3 3. गुणनखंड 2 , 2 , 3 और . के गुणनफल में जोड़ें 7 संख्या 84 लुप्त गुणनखंड 2 , 3 , 3 और
3 संख्या 648। हमें उत्पाद मिलता है 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536।यह 84 और 648 का सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

उत्तर:एलसीएम (84, 648) = 4536।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करना

चाहे हम कितनी भी संख्याओं के साथ काम कर रहे हों, हमारे कार्यों का एल्गोरिथ्म हमेशा समान रहेगा: हम क्रमिक रूप से दो संख्याओं का LCM पाएंगे। इस मामले के लिए एक प्रमेय है।

प्रमेय 1

मान लीजिए हमारे पास पूर्णांक हैं ए 1 , ए 2 ,… , एक के. अनापत्ति प्रमाण पत्र एम कोइन संख्याओं में से अनुक्रमिक गणना m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k - 1 , a k) में पाई जाती है।

अब आइए देखें कि प्रमेय को विशिष्ट समस्याओं पर कैसे लागू किया जा सकता है।

उदाहरण 7

आपको चार संख्याओं 140 , 9 , 54 और . के सबसे छोटे सामान्य गुणज की गणना करने की आवश्यकता है 250 .

समाधान

आइए अंकन का परिचय दें: एक 1 \u003d 140, एक 2 \u003d 9, एक 3 \u003d 54, एक 4 \u003d 250।

आइए m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) की गणना करके शुरू करें। आइए 140 और 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4 की जीसीडी की गणना करने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करें। हम प्राप्त करते हैं: जीसीडी (140, 9) = 1, एलसीएम (140, 9) = 140 9: जीसीडी (140, 9) = 140 9: 1 = 1260। इसलिए, एम 2 = 1 260।

आइए अब उसी एल्गोरिथम के अनुसार गणना करें m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) । गणना के क्रम में, हमें m 3 = 3 780 प्राप्त होता है।

यह हमारे लिए m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) की गणना करना बाकी है। हम एक ही एल्गोरिथ्म के अनुसार कार्य करते हैं। हमें एम 4 \u003d 94 500 मिलता है।

उदाहरण शर्त से चार संख्याओं का एलसीएम 94500 है।

उत्तर:एलसीएम (140, 9, 54, 250) = 94,500।

जैसा कि आप देख सकते हैं, गणना सरल है, लेकिन काफी श्रमसाध्य है। समय बचाने के लिए आप दूसरे रास्ते पर जा सकते हैं।

परिभाषा 4

हम आपको क्रियाओं के निम्नलिखित एल्गोरिथम प्रदान करते हैं:

• सभी संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें;
• पहली संख्या के गुणनखंडों के गुणनफल में, दूसरी संख्या के गुणनफल से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें;
• तीसरे नंबर के लापता कारकों को पिछले चरण में प्राप्त उत्पाद में जोड़ें, आदि;
• परिणामी उत्पाद स्थिति से सभी संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक होगा।

उदाहरण 8

पांच संख्याओं 84 , 6 , 48 , 7 , 143 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान

आइए सभी पांच संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13। अभाज्य संख्याएँ, जो कि संख्या 7 है, को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित नहीं किया जा सकता है। ऐसी संख्याएँ अभाज्य गुणनखंडों में उनके अपघटन के साथ मेल खाती हैं।

अब हम संख्या 84 के अभाज्य गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 का गुणनफल लेते हैं और उनमें दूसरी संख्या के लुप्त गुणनखंडों को जोड़ते हैं। हमने संख्या 6 को 2 और 3 में विघटित कर दिया है। ये कारक पहले से ही पहले नंबर के उत्पाद में हैं। इसलिए, हम उन्हें छोड़ देते हैं।

हम लापता गुणकों को जोड़ना जारी रखते हैं। हम संख्या 48 की ओर मुड़ते हैं, अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल से, जिनमें से हम 2 और 2 लेते हैं। फिर हम चौथी संख्या से 7 का एक साधारण गुणनखंड और पांचवें के 11 और 13 के गुणनखंड जोड़ते हैं। हम पाते हैं: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048। यह पाँच मूल संख्याओं का सबसे छोटा सा सामान्य गुणज है।

उत्तर:एलसीएम (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048।

ऋणात्मक संख्याओं का अल्पतम समापवर्तक ज्ञात करना

ऋणात्मक संख्याओं के कम से कम सामान्य गुणकों को खोजने के लिए, इन संख्याओं को पहले विपरीत चिह्न वाली संख्याओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, और फिर उपरोक्त एल्गोरिदम के अनुसार गणना की जानी चाहिए।

उदाहरण 9

एलसीएम(54, −34) = एलसीएम(54, 34) और एलसीएम(−622,−46, −54,−888) = एलसीएम(622, 46, 54, 888)।

इस तरह के कार्यों की अनुमति इस तथ्य के कारण है कि यदि यह स्वीकार किया जाता है कि एकतथा - ए- विपरीत संख्या
फिर गुणकों का समुच्चय एककिसी संख्या के गुणजों के समुच्चय के साथ मेल खाता है - ए.

उदाहरण 10

ऋणात्मक संख्याओं के LCM की गणना करना आवश्यक है − 145 तथा − 45 .

समाधान

चलो नंबर बदलते हैं − 145 तथा − 45 उनके विपरीत संख्याओं के लिए 145 तथा 45 . अब, एल्गोरिथम का उपयोग करते हुए, हम एलसीएम (145, 45) = 145 45: जीसीडी (145, 45) = 145 45: 5 = 1 305 की गणना करते हैं, पहले यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करके जीसीडी निर्धारित करते हैं।

हम पाते हैं कि संख्याओं का एलसीएम - 145 और − 45 बराबरी 1 305 .

उत्तर:एलसीएम (- 145 , - 45) = 1 305।

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छठी कक्षा में गणित का पाठ। गणित शिक्षक GBOU माध्यमिक विद्यालय №539 दिमित्री वादिमोविच लबज़िन। आम एकाधिक।

मौखिक कार्य। 1. गणना करें: ए)? ? 2. यह ज्ञात है कि "एक भाजक है", "विभाज्य है", "एक गुणक है" शब्दों का उपयोग करते हुए सही कथनों के साथ आओ। इनमें से कौन समानार्थी हैं? 3. क्या यह कहना संभव है कि संख्याएँ a, b और c 14 की गुणज हैं यदि: - संख्या a को 14 से, संख्या b को 14 से विभाजित करने का भागफल ज्ञात कीजिए।

लेखन में। 2. 15 और 30 के कुछ उभयनिष्ठ गुणज ज्ञात कीजिए। हल। 15:15 के गुणज; तीस; 45; 60; 75; 90… 30:30 के गुणज; 60; 90…सामान्य गुणज: 30; 60; 90. - संख्या 15 और 30 का सबसे छोटा सामान्य गुणक क्या है। - संख्या 30। - यह बनाने का प्रयास करें कि कौन सी संख्या दो प्राकृतिक संख्याओं ए और बी की सबसे छोटी सामान्य गुणक कहलाती है? प्राकृत संख्याओं a और b का लघुत्तम समापवर्त्य सबसे छोटी प्राकृत संख्या है जो a और b दोनों का गुणज है। - कृपया मुझे बताएं, क्या एनओसी प्राप्त करने का सुविचारित तरीका सुविधाजनक है? - क्यों? एलसीएम(15;30) = 30. वे लिखते हैं:

2. संख्याएँ दी गई हैं: - इस बारे में सोचें कि आप संख्याओं a और b का लघुत्तम समापवर्तक कैसे ज्ञात कर सकते हैं? कलन विधि। 1. इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में अपघटित करें; 2. उनमें से किसी एक का अपघटन लिखिए; 3. किसी अन्य संख्या के प्रसार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें; 4. परिणामी कार्य ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 1. एलसीएम (32;25) ज्ञात कीजिए। समाधान। आइए संख्या 32 और 25 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें। ; - 32 और 25 की संख्या के बारे में क्या कहा जा सकता है? सह अभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य उनके गुणनफल के बराबर होता है। उदाहरण 2. संख्या 12 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए; पंद्रह; बीस; 60. निर्णय। यदि संख्याओं में से एक है जो अन्य सभी से विभाज्य है, तो यह इन संख्याओं का LCM है। - आपने क्या नोटिस किया?

दी गई संख्याएँ: 15 और 30। 15:15 के गुणज; तीस; 45; 60; 75; 90… 30:30 के गुणज; 60; 90… कम से कम सामान्य गुणक: 30. यह दिलचस्प है! 30: 30 के गुणज; 60; 90… एलसीएम (ए; बी) का प्रत्येक गुणक ए और बी का एक सामान्य गुणक है और, इसके विपरीत, उनका प्रत्येक सामान्य गुणक एलसीएम (ए; बी) का एक गुणक है।

पाठ 16

लक्ष्य:कम से कम सामान्य गुणक की अवधारणाओं का परिचय दें; कम से कम सामान्य गुणक खोजने का कौशल बनाने के लिए; बीजीय तरीके से समस्याओं को हल करने का कौशल विकसित करना; अंकगणित माध्य दोहराएं।

शिक्षक के लिए सूचना

विद्यार्थियों का ध्यान व्यंजकों के विभिन्न अर्थों की ओर आकर्षित करें: "संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणन", "संख्याओं का न्यूनतम उभयनिष्ठ गुणज"।

अनेक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करना:

1. जाँच कीजिए कि क्या दी गई संख्याओं में से बड़ी संख्या शेष संख्याओं से विभाज्य है।

2. यदि विभाज्य है, तो यह संख्या दी गई सभी संख्याओं में सबसे छोटी सामान्य गुणज होगी।

3. यदि यह विभाज्य नहीं है, तो जाँच करें कि क्या कोई दुगुनी बड़ी संख्या, तिगुनी, आदि अन्य संख्याओं से विभाज्य नहीं होगी।

4. इसलिए तब तक जांच करें जब तक आपको वह छोटी से छोटी संख्या न मिल जाए जो अन्य सभी संख्याओं से विभाज्य हो।

द्वितीय विधि

2. किसी एक संख्या का विस्तार लिखिए (सबसे बड़ी संख्या को तुरंत लिख लेना बेहतर है)।

यदि संख्याएँ सहअभाज्य हैं, तो इन संख्याओं में सबसे छोटा समापवर्तक उनका गुणनफल होगा।

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण

द्वितीय. मौखिक गिनती

1. खेल "मैं सबसे चौकस हूं।"

15, 67, 38, 560, 435, 226, 1000, 539, 3255.

यदि संख्या 2 का गुणज है तो ताली बजाएं।

यदि संख्या 5 का गुणज है तो लिखिए।

यदि संख्या 10 का गुणक है तो अपने पैरों को थपथपाएं।

आप एक ही समय में ताली क्यों बजा रहे थे, चीख़ रहे थे और अपने पैरों पर मुहर क्यों लगा रहे थे?

2. उन सभी अभाज्य संख्याओं के नाम लिखिए जो असमानता को संतुष्ट करती हैं 20< х < 50.

3. इन संख्याओं का गुणनफल या योग कौन सा बड़ा है: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? (योग। गुणनफल 0 है और योग 45 है।)

4. संख्या 1, 7, 5, 8, 2, 5, 3 के गुणज (1578, 1875, 1515.) का उपयोग करके लिखी गई चार अंकों की संख्या क्या है?

5. मरीना के पास एक पूरा सेब, दो आधा और चार चौथाई था। उसके पास कितने सेब थे? (3.)

III. व्यक्तिगत काम

(स्वतंत्र कार्य में गलती करने वाले छात्रों को एक कार्य दें, जिससे वे कक्षा की नोटबुक में नोट्स का उपयोग कर सकें।)

1 कार्ड

क) 20 और 30; बी) 8 और 9; सी) 24 और 36।

2. ऐसी दो संख्याएँ लिखिए जिनका सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक संख्या है: a) 5; बी) 8.

क) 22 और 33; बी) 24 और 30; ग) 45 और 9; घ) 15 और 35.

2 कार्ड

1. संख्याओं के सभी उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात कीजिए और उनके सबसे बड़े उभयनिष्ठ भाजक को रेखांकित कीजिए:

क) 30 और 40; बी) 6 और 15; सी) 28 और 42।

अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याओं के एक युग्म का नाम बताइए, यदि कोई हो।

2. ऐसी दो संख्याएँ लिखिए जिनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक संख्या है: a) 3; बी) 9.

3. इन संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए:

क) 33 और 44; बी) 18 और 24; ग) 36 और 9; घ) 20 और 25।

चतुर्थ। पाठ विषय संदेश

आज के पाठ में हम जानेंगे कि संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य क्या है और इसे कैसे ज्ञात किया जाता है।

V. नई सामग्री सीखना

(समस्या बोर्ड पर लिखी गई है।)

कार्य पढ़ें।

दो नावें एक घाट से दूसरे घाट तक जाती हैं। वे सुबह 8 बजे एक ही समय पर काम शुरू करते हैं। पहली नाव 2 घंटे राउंड ट्रिप पर बिताती है, और दूसरी - 3 घंटे।

सबसे कम समय क्या है जिसके बाद दोनों नावें फिर से पहले घाट पर होंगी, और इस दौरान प्रत्येक नाव कितनी यात्राएँ करेगी?

ये नावें दिन में कितनी बार पहले घाट पर मिलेंगी और यह किस समय होगा?

वांछित समय 2 और 3 दोनों से शेषफल के बिना विभाज्य होना चाहिए, अर्थात यह 2 और 3 का गुणज होना चाहिए।

आइए ऐसी संख्याएँ लिखें जो 2 और 3 के गुणज हों:

संख्याएँ जो 2: 2, 4 के गुणज हैं, 6 , 8, 10, 12 , 14, 16, 18 , 20, 22, 24 .

संख्याएँ जो 3:3 के गुणज हैं, 6 , 9, 12 , 15, 18 , 21, 24 .

2 और 3 के सामान्य गुणजों को रेखांकित करें।

2 और 3 का सबसे छोटा गुणज क्या है (सबसे छोटा गुणज 6 है)

यानी काम शुरू होने के 6 घंटे बाद दो नावें एक साथ पहले घाट पर होंगी.

इस दौरान प्रत्येक नाव कितनी यात्राएं करेगी? (1 - 3 उड़ानें, 2 - 2 उड़ानें।)

ये नावें दिन में कितनी बार पहले घाट पर मिलेंगी? (4 बार।)

यह कितने बजे होगा? (दोपहर 2 बजे, रात 8 बजे, सुबह 2 बजे, सुबह 8 बजे।)

परिभाषा। वह छोटी से छोटी प्राकृत संख्या जो प्रकाशित प्राकृत संख्याओं में से प्रत्येक से विभाज्य हो, लघुत्तम समापवर्तक कहलाती है।

संकेतन: एलसीएम (2; 3) = 6.

एक पंक्ति में गुणकों को लिखे बिना संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक पाया जा सकता है।

इसके लिए आपको चाहिए:

1. सभी संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में अपघटित करें।

2. किसी एक संख्या (सबसे बड़ी से बेहतर) का विस्तार लिखिए।

3. इस विस्तार को अन्य संख्याओं के विस्तार से उन कारकों के साथ पूरक करें जो लिखित विस्तार में शामिल नहीं थे।

4. परिणामी उत्पाद की गणना करें।

संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए:

क) 75 और 60; बी) 180, 45 और 60; ग) 12 और 35.

पहले आपको यह जांचना होगा कि बड़ी संख्या अन्य संख्याओं से विभाज्य है या नहीं।

यदि हाँ, तो बड़ी संख्या उन संख्याओं में सबसे छोटी सामान्य गुणज होगी।

फिर निर्धारित करें कि क्या दी गई संख्याएँ सहअभाज्य हैं।

यदि हाँ, तो इन संख्याओं का गुणनफल लघुत्तम समापवर्त्य होगा।

a) 75, 60 से विभाज्य नहीं है, और संख्याएँ 75 और 60 सहअभाज्य नहीं हैं, तो

75 की संख्या का अपघटन नहीं, बल्कि इस संख्या को तुरंत लिखना बेहतर है।

b) संख्या 180, 45 और 60 दोनों से विभाज्य है, इसलिए,

एनओसी (180; 45; 60) = 180।

c) ये संख्याएँ अपेक्षाकृत अभाज्य हैं, इसलिए LCM (12; 35) = 420।

VI. शारीरिक शिक्षा मिनट

सातवीं। एक कार्य पर काम करना

1. - किसी कार्य को संक्षिप्त में नोट कर लें।

(भंडार में तीन बक्सों में 160 किलो सेब थे। पहले डिब्बे में, 15 किलो कम, दूसरे में, दूसरे में, तीसरे से 2 गुना अधिक। प्रत्येक डिब्बे में कितने किलो सेब थे?)

बीजगणितीय विधि का उपयोग करके समस्या को हल करें।

(ब्लैकबोर्ड पर और नोटबुक में।)

हम एक्स के लिए क्या लेते हैं? क्यों? (बॉक्स III में कितने किलो सेब हैं। x के लिए छोटी संख्या लेना बेहतर है।)

तो बॉक्स II के बारे में क्या कहा जा सकता है? (2x (किलो) सेब बॉक्स II में।)

बॉक्स 1 में कितने होंगे? (2x - 15 (किलो) सेब I बॉक्स में।)

समीकरण बनाने के लिए क्या उपयोग किया जा सकता है? (3 बक्सों में केवल 160 किलो सेब हैं।)

1) माना x (kg) डिब्बा III में सेब है,

2x (किलो) - सेब II बॉक्स में,

2x - 15 (किलो) - I बॉक्स में सेब।

यह जानते हुए कि 3 बक्सों में केवल 160 किलो सेब हैं, हम समीकरण बनाते हैं:

x + 2x + 2x - 15 = 160

एक्स = 35; III बॉक्स में 35 किलो सेब।

2) 35 2 = 70 (किग्रा) - बॉक्स II में सेब।

3) 70 - 15 = 55 (किलो) - आई बॉक्स में सेब।

प्रश्न का उत्तर लिखने से पहले क्या करना चाहिए? (उत्तर लिखने के लिए, आपको समस्या के प्रश्न को पढ़ना होगा।)

कार्य के प्रश्न का नाम दें। (प्रत्येक डिब्बे में कितने किलो सेब थे?)

चूंकि हमने कार्यों का विस्तृत विवरण लिखा है, इसलिए हम संक्षेप में उत्तर लिखेंगे।

(उत्तर: 55 किग्रा, 70 किग्रा, 35 किग्रा।)

2. नंबर 184 पी। 30 (ब्लैकबोर्ड पर और नोटबुक में)।

कार्य पढ़ें।

समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए क्या करने की आवश्यकता है? (संख्या 45 और 60 का LCM ज्ञात कीजिए।)

45 = 3 3 5

60 = 2 5 2 3

नॉक (45; 60) \u003d 60 3 \u003d 180, जिसका अर्थ है 180 मीटर।

(उत्तर: 180 मीटर।)

आठवीं। अध्ययन सामग्री का समेकन

1. नंबर 179 पी। 30 (ब्लैकबोर्ड पर और नोटबुक में)।

संख्याओं a और b के सबसे छोटे सामान्य गुणक और सबसे बड़े सामान्य भाजक का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए।

ए) एलसीएम (ए; सी) = 3 5 7

जीसीडी (ए; सी) = 5.

बी) एलसीएम (ए; सी) = 2 2 3 3 5 7

जीसीडी (ए; सी) = 2 2 3.

2. नंबर 180 (ए, बी) पी। 30 (विस्तृत टिप्पणी के साथ)।

ए) एलसीएम (ए; बी) \u003d 2 3 3 3 5 2 5 \u003d 2700।

b) चूँकि b, a से विभाज्य है, तो LCM ही संख्या b होगी।

एलसीएम (ए; बी) \u003d 2 3 3 5 7 7 \u003d 4410।

IX. अध्ययन सामग्री की पुनरावृत्ति

1. - कई संख्याओं का अंकगणितीय माध्य कैसे ज्ञात करें? (इन संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए; परिणाम को संख्याओं की संख्या से भाग दीजिए।)

नंबर 198 पी। 32 (बोर्ड पर और नोटबुक में)।

(3,8 + 4,2 + 3,5 + 4,1) : 4 = 3,9

2. नंबर 195 पी। 32 (स्वतंत्र रूप से)।

आप दो संख्याओं का भागफल और कैसे लिख सकते हैं? (एक अंश के रूप में।)

X. स्वतंत्र कार्य

मध्यवर्ती उत्तर रिकॉर्ड करें।

विकल्प I. नंबर 125 (1-2 लाइन) पी। 22, नंबर 222 (ए-सी) पी। 36, नंबर 186 (ए, बी) पी। 31।

विकल्प II। नंबर 125 (3-4 लाइनें) पी। 22, नंबर 186 (सी, डी) पी। 31, नंबर 222 (ई) पी। 36।

ग्यारहवीं। पाठ को सारांशित करना

इन संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणज क्या है?

इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य क्या है?

दी गई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य कैसे ज्ञात करें?

गृहकार्य

नंबर 202 (ए, बी, जीसीडी और एनओसी खोजें), नंबर 204 पी। 32, नंबर 206 (ए) पी। 33, नंबर 145 (ए) पी। 24।

व्यक्तिगत कार्य: नंबर 201 पी। 32।