तार्किक संचालन के प्रकार
1. तार्किक निषेध (उलटा)
यह एक साधारण कथन से विधेय में एक कण जोड़कर या "यह सच नहीं है ..." भाषण की आकृति का उपयोग करके बनता है।
|
एक कीमत |
उलटा ए |
मतलब नहीं ए |
|
|
मेरे पास उपसर्ग "DENDY" है पिछले अध्याय में हमने सीखा कि डिजिटल सूचना क्या है। डिजिटल जानकारी को बिट्स के रूप में दर्शाया जाता है जो 1 के मानों को ग्रहण कर सकता है या इस अध्याय में, हम सीखना शुरू करते हैं कि डिजिटल जानकारी का उपयोग करके गणना कैसे करें और अन्य कार्य कैसे करें। हम जिन पर चर्चा करेंगे उनमें से अधिकांश को जॉर्ज बूले ने अपने पेपर एन इंक्वायरी इन द लॉज ऑफ थॉट में औपचारिक रूप दिया था, जिस पर इस पुस्तक में प्रकाशित तर्क और संभाव्यता के गणितीय सिद्धांत आधारित हैं। उस समय कुछ अनुप्रयोग थे, लेकिन अंततः वैज्ञानिकों और इंजीनियरों ने महसूस किया कि उनके सिस्टम का उपयोग कुशल कंप्यूटर तर्क बनाने के लिए किया जा सकता है। डिजिटल तर्क के साथ गणित की शाखा को उपयुक्त रूप से बूलियन बीजगणित नाम दिया गया है। |
मेरे पास उपसर्ग "DENDY" नहीं है | ||
|
मुझे चीनी भाषा नहीं आती |
यह सच नहीं है कि मैं चीनी नहीं जानता (मैं चीनी जानता हूं) |
उलटा दर्शाया गया है: ए नहीं; ए; नहीं ए
हम प्रपत्र के कथन के सत्य मान में रुचि रखते हैं नहीं ए(इसकी सामग्री नहीं)। यह विशेष द्वारा निर्धारित किया जाता है ट्रुथ टेबल, जो उलटा ऑपरेशन के लिए इस तरह दिखता है:
ये तीन ऑपरेटर डिजिटल लॉजिक में हर चीज का आधार बनते हैं। वास्तव में, आपका कंप्यूटर जो कुछ भी करता है, उसे इन तीन कार्यों के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। सौभाग्य से, इन कार्यों को समझना मुश्किल नहीं है, क्योंकि उनके अर्थ रोजमर्रा की भाषा में इस्तेमाल होने वाले शब्दों से मिलते जुलते हैं।
निम्नलिखित सत्य तालिका के साथ वर्णित किया जा सकता है। यह कभी-कभी एक सर्कल में प्लस चिह्न द्वारा इंगित किया जाता है। यह डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स में एक बहुत ही उपयोगी विशेषता है, लेकिन यह बूलियन बीजगणित में एक महत्वपूर्ण अवधारणा नहीं है। दुर्भाग्य से, कंप्यूटर विज्ञान, इंजीनियरिंग और गणित एक आम सहमति तक नहीं पहुंच पा रहे हैं, इसलिए हम दोनों प्रारूपों से चिपके रहते हैं। अन्य पुस्तकें, और विशेष रूप से जो शुद्ध तर्क या असतत गणित से संबंधित हैं, उनके अलग-अलग संकेतन हो सकते हैं, इसलिए यदि अन्य पुस्तकों से परामर्श किया जाता है, तो एक अलग संकेतन जानना आवश्यक है।
स्मरक नियम:शब्द "उलटा" (लैटिन इनवर्सियो से - टर्निंग ओवर) का अर्थ है कि सफेद से काला, अच्छाई से बुराई, सुंदर से बदसूरत, सच्चाई से झूठ, झूठ से सच्चाई, शून्य से एक, एक से शून्य हो जाता है।
नोट 1।तर्कशास्त्री "यह सच नहीं है" अभिव्यक्तियों से निपटना पसंद करते हैं क्योंकि यह पूरे प्रस्ताव के निषेध पर जोर देता है।
चूंकि यह इंजीनियरिंग की किताब है, इसलिए हम इन नोटेशन का इस्तेमाल नहीं करेंगे। बूलियन बीजगणित, नियमित बीजगणित की तरह, कुछ नियम हैं। ये नियम सहयोगीता, वितरण, कम्यूटेशन और डी मॉर्गन कानून हैं। इनमें से कुछ कानून तुच्छ लग सकते हैं क्योंकि आप उनके इतने अभ्यस्त हैं। हालाँकि, जब बूलियन बीजगणित को इसके विभिन्न नियमों के साथ बनाया गया था, तो सामान्य बीजगणित में हमारे द्वारा लिए गए प्रत्येक स्वयंसिद्ध की अब गारंटी नहीं थी। ये नियम बूलियन बीजगणित के लिए सिद्ध हो चुके हैं।
साहचर्यता बीजगणित का एक गुण है कि जिस क्रम में शब्दों का मूल्यांकन किया जाता है वह सारहीन है। कम्यूटेटिविटी वह संपत्ति है जिसमें एक ऑपरेटर को लागू करने का क्रम सारहीन होता है। सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले ऑपरेटरों की एक वर्णनात्मक सूची। असाइनमेंट ऑपरेटर सबसे आम हैं और आपको वेरिएबल्स को मान पास करने की अनुमति देते हैं। मैपिंग वह प्रक्रिया है जिसके द्वारा हम एक वेरिएबल में एक वैल्यू डालते हैं।
नोट 2।दो बार या चार बार अस्वीकृत कथन का वही सत्य मान होता है, जो संबंधित गैर-अस्वीकृत कथन का तीन बार-नकारा-एक बार-अस्वीकार होता है।
तार्किक गुणन (संयोजन)
यह दो कथनों को संघ "और" का उपयोग करके एक में मिलाकर बनाया गया है।
पीउदाहरण: मान लीजिए कि मेरी खिड़की से एक पार्किंग स्थल दिखाई देता है, जहां आमतौर पर दो कारें होती हैं: एक मर्सिडीज और एक ज़िगुली, लेकिन उनमें से एक हो सकती है, या कोई भी नहीं। आइए बयानों को निरूपित करें:
हम पहले ही वैरिएबल और असाइन किए गए मान बना चुके हैं, इसलिए आपको उन्हें पहचानने की आवश्यकता है। इसके अलावा, एक असाइनमेंट में एक मामला हो सकता है जहां असाइन किया जाने वाला मान एक ऑपरेशन करने का परिणाम था। बेशक आप एक मूल्य घटा रहे हैं। एक्सप्रेशन असाइन किए जाने से पहले, उसकी गिनती की जाती है और फिर मान असाइन किया जाता है।
जैसा कि आप देख सकते हैं, असाइनमेंट एक बहुत ही सरल ऑपरेशन है, जो ऑपरेटर के दाईं ओर है वह बाईं ओर वेरिएबल को सौंपा गया है। टिप्पणी। संयोजन को समझने के लिए नीचे "स्ट्रिंग ऑपरेशंस" देखें। वे मुख्य रूप से हमारी स्थितियों में दो चर की तुलना करने और यह जांचने के लिए उपयोग किए जाते हैं कि क्या यह एक ऑपरेटर संपत्ति से मेल खाता है।
एक संयोजन बी तथा "ज़िगुली"
संचालन संयोजन निरूपित किया गया है:; और; *; तथा; तथा।
सत्य तालिका से यह निम्नानुसार है कि संयोजन संक्रिया सत्य है यदि और केवल यदि दोनों कथन सत्य हैं, और असत्य जब कम से कम एक कथन असत्य है। कभी-कभी इस गुण को तार्किक गुणन के संचालन की परिभाषा के लिए गलत माना जाता है।
लेकिन जो सबसे अधिक उपयोग किए जाते हैं वे अन्य हैं जो वास्तव में सीखना बहुत आसान हैं, हालांकि दिलचस्प उदाहरण देखने के लिए हमें नियंत्रण संरचनाओं को समझना होगा। ऐसा इसलिए है क्योंकि == ऑपरेटर के साथ किया गया तुलना ऑपरेशन चर के प्रकारों को ध्यान में नहीं रखता है। हालाँकि, अब निम्नलिखित कोड को देखें।
लॉजिकल ऑपरेटर्स का उपयोग लॉजिकल ऑपरेशन करने के लिए किया जाता है, भले ही रिडंडेंसी कुछ भी हो। ये ऐसे ऑपरेशन हैं जो अंततः "हां" या "नहीं", सकारात्मक या नकारात्मक लौटाएंगे। स्थिति अभिव्यक्ति के लिए आवश्यक होने पर उनका उपयोग तुलना ऑपरेटरों के साथ संयोजन में किया जाता है।
स्मरक नियम:संयोजन एक तार्किक है गुणा
कई का चौराहा
ए - कक्षा बी में कई उत्कृष्ट छात्र - कक्षा ए बी में कई एथलीट - खेल में शामिल कई उत्कृष्ट छात्र
- और तार्किक संक्रिया सत्य होगी यदि दोनों सत्य हैं।
- तार्किक संक्रिया "या" सत्य होगी यदि उनमें से एक सत्य है।
कारण यह है कि प्रत्येक ऑपरेटर की एक अलग ऑपरेटर पृष्ठभूमि होती है। वे एक चर के मान को एक-एक करके बढ़ाने या घटाने का काम करते हैं। वे लूप की रूपरेखा में एक विशिष्ट ऑपरेशन के शॉर्टकट हैं जो एक मूल्य को बढ़ाने या घटाने के लिए उपयोग करते हैं जिसका उपयोग हम पूर्ण पुनरावृत्तियों का ट्रैक रखने के लिए करते हैं।
तार्किक जोड़ (विच्छेदन)
यह दो कथनों को संघ OR का उपयोग करके एक में मिलाकर बनाया गया है।
उदाहरण
कल बारिश होगी या नहीं होगी (तीसरा नहीं दिया गया है)।
पेट्या स्टेडियम के पश्चिमी या पूर्वी स्टैंड पर बैठती है।
एक छात्र ट्रेन की सवारी कर रहा है या किताब पढ़ रहा है।
मनोनीत:
ये ऑपरेटर दिलचस्प हैं क्योंकि वे दो काम करते हैं, ठीक उसी तरह जैसे संयुक्त असाइनमेंट ऑपरेटर हमने पहले देखा था। एक ओर, कमी या वृद्धि, और दूसरी ओर, वे ऑपरेटर के परिणामस्वरूप वापस आ जाते हैं। समझ को पूरा करने के लिए, इस कोड का अध्ययन करना बेहतर है।
इस कोड में, हमें प्री-इंक्रीमेंट और पोस्ट-इंक्रीमेंट द्वारा आउटपुट के रूप में अलग-अलग चीजें मिलती हैं। निम्नलिखित परिणाम टिप्पणी में दिखाई देंगे। इसका विश्लेषण करें और आप समझ जाएंगे कि यह कैसे संभव है। जब हम स्ट्रिंग्स के साथ काम करते हैं, तो हमारे पास एक विशेष ऑपरेटर होता है जो कि संयोजन होता है। यह एक चेन को दूसरी चेन से जोड़ने का काम करता है।
ए या बी; ए या बी; ए | पर; ए वी बी
उदाहरण: मान लीजिए कि मेरी खिड़की से एक पार्किंग स्थल दिखाई देता है, जहां आमतौर पर दो कारें होती हैं: एक मर्सिडीज और एक ज़िगुली, लेकिन उनमें से एक हो सकती है, या कोई भी नहीं। आइए बयानों को निरूपित करें:
ए = पार्किंग में मर्सिडीज है
बी = ज़िगुली पार्किंग में खड़ी है
एक विच्छेदन बी = पार्किंग में मर्सिडीज हैंया "ज़िगुली"
प्रोग्रामिंग भाषा सीखते समय, हमें ऑपरेटर पूर्ववर्ती पर विशेष ध्यान देना चाहिए, जो मूल रूप से नियमों और व्यवस्था का एक सेट है जिसके द्वारा उन अभिव्यक्तियों के साथ काम करते समय ऑपरेटरों का मूल्यांकन किया जाएगा जिनमें उनमें से कई शामिल हैं।
गणित की तरह, कभी-कभी यदि हम एक क्रम या किसी अन्य क्रम में संचालन करते हैं, तो अंतिम मूल्यों में भी परिवर्तन हो सकता है। प्रोग्रामिंग भाषाओं में, इन ऑपरेटरों के उपयोग के क्रम के आधार पर, अभिव्यक्ति अलग-अलग परिणाम उत्पन्न कर सकती है।
ऑपरेटर प्राथमिकता इस संदेह को स्पष्ट करने का काम करती है और प्रोग्रामर एक प्राथमिकता जानते हैं कि भाषा अभिव्यक्तियों को कैसे हल करेगी, उन्हें लिखने में सक्षम होने के कारण समाधान वही होगा जो उन्होंने अपेक्षित किया था। हालाँकि, भाषा की भविष्यवाणी हमेशा वह नहीं होती है जिसे हम लागू करना चाहते हैं। चीजों को आसान बनाने के लिए, ऐसे कोष्ठक हैं जो हमें अपने भावों को परिभाषित करने की अनुमति देते हैं जो यह दर्शाते हैं कि कौन से कथनों को पहले हल किया जाना चाहिए। दूसरे शब्दों में, जब भी हम कोष्ठकों का उपयोग करते हैं, तो हम संकलक को उस से पहले कुछ निश्चित संचालन की अनुमति देने के लिए मजबूर कर रहे हैं, इसके बावजूद डिफ़ॉल्ट प्राथमिकता निर्धारित की गई है।
सत्य तालिका से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि और केवल दोनों कथनों के असत्य होने पर और कम से कम एक कथन के सत्य होने पर विघटन संक्रिया असत्य है। कभी-कभी इस गुण को तार्किक गुणन के संचालन की परिभाषा के लिए गलत माना जाता है।
स्मरक नियम: वियोग एक तार्किक है योग और हमें इसमें कोई संदेह नहीं है कि आपने गौर किया है:
पहले इस प्रकार लिखा गया व्यंजक: 10 अलग-अलग व्याख्याओं के लिए मान्य नहीं होगा। अन्यथा, हमें हमेशा कोष्ठकों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है, जिससे जटिलता के भाव पैदा होते हैं जो आवश्यकता से बड़े होते हैं। यह भी संभव है कि हालांकि हम पूर्ववर्ती को अच्छी तरह से जानते हैं, कोष्ठक की नियुक्ति कोड की पठनीयता में मदद कर सकती है, क्योंकि कोई भी मानव पाठक जो कोष्ठक देखता है उसे तुरंत पता चल जाएगा कि अभिव्यक्ति के इस हिस्से का मूल्यांकन पहले किया जाएगा। ये चार क्रियाएं सूक्ष्म होंगी, और उनमें से प्रत्येक दो अंकों के द्विआधारी संयोजन के अनुरूप होगी।
लेकिन तर्क में: 1 वी 1 = 1.
सेटों का संघ
ए - कक्षा बी में उत्कृष्ट छात्रों का सेट - कक्षा ए में एथलीटों का सेट बी - कक्षा के छात्रों का सेट जो उत्कृष्ट छात्र या एथलीट हैं
तार्किक निम्नलिखित (निहितार्थ)
मान लीजिए कि हम दो हस्ताक्षरित संख्याओं का गुणन -2 और -4 के रूप में करना चाहते हैं। आइए ऊपर दी गई तालिका में प्रस्तुत हमारे मामले को देखें। दूसरी पंक्ति में, आप हमारे अभ्यास में प्रत्येक चर के आद्याक्षर देख सकते हैं। लाइन 3 में, आप इस ऑफ़सेट के परिणाम को देख सकते हैं। यह लॉजिकल ऑफ़सेट के बराबर है, क्योंकि हमने केवल पहले भाग में देखा है कि साइन बिट हमेशा संरक्षित रहता है। पंक्ति तीन की तुलना करते समय, जो पहले चक्र का परिणाम है, यह देखा जा सकता है कि बिट्स समान हैं, इसलिए चक्र दो के दौरान केवल एक अंकगणितीय बदलाव होगा।
यह "IF ..., THEN ..." भाषण की आकृति का उपयोग करके दो कथनों को एक में मिलाकर बनाया गया है।
उदाहरण
अगर कोई शपथ दी जाती है, तो उसे रखना चाहिए।
यदि कोई संख्या 9 से विभाज्य है, तो वह 3 से विभाज्य है।
ऐतिहासिक रूप से, दो चर के तार्किक कार्यों की प्रणाली की पूर्णता के लिए निहितार्थ ऑपरेशन पेश किया गया था, इसलिए तर्क में यह उन बयानों पर विचार करने के लिए स्वीकार्य (स्वीकृत, सहमत) है जो रोजमर्रा के दृष्टिकोण से अर्थहीन हैं। आइए हम ऐसे उदाहरण दें जो न केवल तर्क में विचार करने के लिए वैध हैं, बल्कि उनका अर्थ सत्य है।
रेखा 4 इस बदलाव का परिणाम दिखाती है। इस ऑपरेशन का परिणाम स्ट्रिंग में देखा जा सकता है। प्रत्येक ऑपरेशन के बाद, परिणाम में बदलाव करना आवश्यक है। लाइन 6 इस ऑफसेट का परिणाम दिखाती है। यह पंक्ति 6 तीसरे चक्र का अंत है। पंक्ति में 6 बिट्स की तुलना करते हुए, हम देखते हैं कि वे समान हैं, इसलिए हमें केवल चौथे चक्र में अंकगणितीय बदलाव करने की आवश्यकता है। परिणाम एक पंक्ति में दिखाया गया है। क्योंकि 4 बिट वाली संख्याओं को केवल 4 चक्रों की आवश्यकता होती है। इस अध्याय में, हम उस प्रोसेसर में मेमोरी फ़ंक्शन का विश्लेषण करेंगे जिसे हम डिज़ाइन करेंगे।
कंप्यूटर पर, हम जो भी प्रोग्राम चलाते हैं, वह मुख्य मेमोरी में संग्रहीत होता है, जो कि टाइप मेमोरी है। माइक्रोप्रोसेसर मेमोरी से उन निर्देशों और डेटा को लेता है जिनकी उसे प्रोग्राम के अनुसार यादृच्छिक क्रम में आवश्यकता होती है या वे उस समय निष्पादित कर रहे हैं। उसी तरह, हमारे माइक्रोप्रोसेसर में एक मेमोरी होगी जो डेटा और निर्देशों को स्टोर करेगी जिसे हम स्टोर करना चाहते हैं।
यदि गाय उड़ती है, तो 2 + 2 = 5
अगर मैं नेपोलियन हूं, तो बिल्ली के चार पैर हैं।
निहितार्थ निरूपित है: ए बी;
वे कहते हैं: "यदि ए, तो बी", "ए बी का तात्पर्य है", "ए बी का तात्पर्य है", "बी ए से अनुसरण करता है"।
सत्य तालिका से यह देखा जा सकता है कि दो कथनों का निहितार्थ असत्य है यदि और केवल यदि एक असत्य कथन एक सच्चे कथन का अनुसरण करता है (एक सच्चा आधार एक गलत निष्कर्ष की ओर ले जाता है)। कभी-कभी इस संपत्ति के लिए लिया जाता है परिभाषानिहितार्थ संचालन।
विचार यह है कि आप उनमें जानकारी रख सकते हैं और उस जानकारी को वर्षों में या जब आप एकीकरण में कटौती नहीं करते हैं, तो उसे नहीं खोते हैं। पहले, कोई व्यक्ति उस सामग्री के लिए एक विनिर्देश प्रस्तुत करता था जो वे किसी प्रदाता से चाहते थे। यह इस तथ्य के कारण था कि फ्लैशबैक में निहित जानकारी उत्पादन में सेट की गई थी। हालांकि, यह उन लोगों के लिए एक बाधा थी, जिन्हें एक छोटी मेमोरी विकसित करने के लिए मेमोरी की आवश्यकता थी और उनके पास वितरकों से मेमोरी के लिए पूछने के लिए पर्याप्त नहीं था, सिवाय इसके कि वितरकों ने केवल बड़े ऑर्डर किए।
तार्किक समानता (समानता)
यह भाषण की आकृति का उपयोग करके दो कथनों को एक में मिलाकर बनाया गया है "... तब और केवल तभी, जब ..."।
उदाहरण
“एक कोण को समकोण कहा जाता है यदि और केवल यदि वह 90 डिग्री हो।
“दो रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि और केवल यदि वे प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।
ऐसी मेमोरी को विद्युत रूप से लिखा जा सकता है और पराबैंगनी प्रकाश से मिटाया जा सकता है। उन लोगों के लिए जिनके पास यूवी प्रकाश मॉड्यूल नहीं था, उनकी यादों को "धूप में लेना" आवश्यक था, जिसमें एक प्रकार की "खिड़की" थी जिसके माध्यम से यूवी प्रकाश प्रवेश करता था। एक यूवी जनरेटर के मामले में, प्रोग्रामर को मेमोरी को मिटाने में 8 मिनट से अधिक समय नहीं लगा, लेकिन जिनके पास यह सुविधा नहीं थी, उन्हें अपनी यादों को लगभग 24 घंटे तक धूप में छोड़ देना चाहिए। इसके अलावा, इन यादों को लगभग 10 बार लिखा और मिटाया जा सकता है।
“कोई भी भौतिक बिंदु आराम की स्थिति या एकसमान रेक्टिलाइनियर गति को बनाए रखता है यदि और केवल तभी जब कोई बाहरी क्रिया इस अवस्था को नहीं बदलती है ”(न्यूटन का पहला नियम)।
“सिर सोचता है कि कब और केवल जीभ आराम पर है" (मजाक)
गणित के सभी नियम, भौतिकी, सभी परिभाषाएँ प्रस्तावों की तुल्यता हैं।
आप इस प्रक्रिया को एक हजार बार कर सकते हैं और इसमें केवल कुछ मिनट लगते हैं। इस प्रकार की मेमोरी को मिटाया जा सकता है और आवश्यकतानुसार कई बार लिखा जा सकता है। एकमात्र दोष यह है कि इस पर लिखी गई जानकारी का उपयोग तभी किया जा सकता है जब वह मान्य हो। एक बार जब बिजली बंद हो जाती है, तो रिकॉर्ड किया गया डेटा तुरंत हटा दिया जाएगा। उनका उपयोग केवल अस्थायी भंडारण के रूप में किया जाता है।
संधारित्र में आवेश की उपस्थिति या अनुपस्थिति की व्याख्या 1 या 0 बाइनरी के रूप में की जाती है। मान लें कि हमारे पास 4 पंक्तियों वाला एक बुकसेलर है। प्रत्येक पंक्ति 4 पुस्तकों तक फिट हो सकती है। 
एक पुस्तक विक्रेता के रूप में स्मृति का प्रतिनिधित्व। रेखाएँ उन पतों का प्रतिनिधित्व करती हैं जो इस मेमोरी में हैं, या जानकारी संग्रहीत करने के लिए उपलब्ध स्थान हैं। उनमें से प्रत्येक थोड़ी सी जानकारी का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए हमारा बुकसेलर एक मेमोरी है जिसमें चार बिट्स क्षमता के चार पते हैं। उनमें से प्रत्येक को क्रम में प्रस्तुत किया गया है बाइनरी संख्या.
तुल्यता निरूपित है: ए = बी; ए ~ बी
उदाहरण। दो वाक्य दिए जाने दो:
ए \u003d "संख्या शेष के बिना 3 से विभाज्य है (तीन का एक गुणक)"
बी = "संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य है"।
लेकिनके बराबर B = "कोई संख्या बिना शेषफल के 3 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि दी गई संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।"
सत्य तालिका से यह निम्नानुसार है कि दो कथनों की तुल्यता सत्य है यदि और केवल यदि ये दोनों कथन सत्य हैं, या दोनों गलत हैं। कभी-कभी इस संपत्ति को के रूप में लिया जाता है परिभाषातुल्यता संचालन।
तर्क कार्य
एक विज्ञान के रूप में तर्क;
प्रस्तावक बीजगणित;
तार्किक संचालन;
तर्क कार्य;
गृहकार्य।
तर्क बीजगणित सूत्र केवल बूलियन चर का उपयोग करते हैं। लॉजिकल कनेक्टिव्स (AND, OR) लॉजिकल ऑपरेशंस को दर्शाते हैं। प्रत्येक सूत्र एक तार्किक कार्य को परिभाषित करता है, जो स्वयं दो तार्किक मानों में से केवल एक (0 या 1) ले सकता है। यही है, अभिव्यक्ति ई \u003d ए वी बी के बजाय, आप एफ (ए, बी) \u003d ए वी बी लिख सकते हैं और इसे दो चर के कार्य के रूप में मान सकते हैं।
हमने दो चरों के बुनियादी तार्किक संचालन को कवर किया है। दो चरों के कितने भिन्न तार्किक (अर्थात दो-मूल्यवान) फलन हो सकते हैं? आइए इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें।
दो चर, जिनमें से प्रत्येक या तो शून्य या एक हो सकता है, 2 2 = 4 मानों के विभिन्न सेट बनाते हैं: (0,0); (0.1); (1.0); (1.1)। प्रत्येक सेट के लिए, फ़ंक्शन स्वयं 0 या 1 का मान ले सकता है। उदाहरण के लिए, F(0,0)=1; एफ(0,1)=1; एफ(1,0)=0; एफ(1,1)=0. तब दो चरों (4 2 =16) के सोलह भिन्न फलन होंगे।
तालिका से पता चलता है कि प्रत्येक फ़ंक्शन इसके निषेध से मेल खाता है (निरंतर 1 - निरंतर 0 का निषेध)।
फ़ंक्शन को सूत्र के रूप में और सारणीबद्ध रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है। सारणीबद्ध कार्य से बूलियन सूत्र में संक्रमण हमेशा संभव होता है।
दो चर के तार्किक कार्यों की सारांश तालिका
|
एक्स मान | ||||||
|
वाई मान | ||||||
|
समारोह मूल्य |
समारोह का नाम |
फंक्शन नोटेशन |
||||
|
समारोह 0 |
स्थिर 0 | |||||
|
फ़ीचर 1 |
संयोजक | |||||
|
फ़ीचर 2 |
निहितार्थ का निषेध XY |
एफ = (एक्स वाई) |
||||
|
फ़ीचर 3 |
परिवर्तनीय एक्स | |||||
|
फ़ीचर 4 |
निहितार्थ का निषेध YX |
एफ = (वाई एक्स) |
||||
|
फ़ीचर 5 |
चर Y | |||||
|
समारोह 6 |
तुल्यता का निषेध |
एफ = (एक्स वाई) |
||||
|
फ़ीचर 7 |
अलगाव | |||||
|
समारोह 8 |
विच्छेदन निषेध | |||||
|
फ़ीचर 9 |
समानक | |||||
|
फ़ीचर 10 |
निषेध Y | |||||
|
फ़ीचर 11 |
निहितार्थ YX | |||||
|
फ़ीचर 12 |
इनकार एक्स | |||||
|
फ़ीचर 13 |
निहितार्थ XY | |||||
|
फ़ीचर 14 |
संयोजन निषेध |
एफ = (एक्स वाई) |
||||
|
फ़ीचर 15 |
स्थिर 1 | |||||
जटिल विवरण
यदि तार्किक संक्रियाओं का उपयोग करते हुए कई सरल कथनों को एक में जोड़ा जाता है, तो ऐसे कथन को जटिल कहा जाता है।
हम हमेशा इस तथ्य से आगे बढ़ते हैं कि किसी के लिएसरल बयान परिभाषित (ज्ञात ) यह सच है या झूठ। द्वाराजटिल कथन और उसमें शामिल तार्किक संक्रियाओं की सत्य सारणी के अनुसार, हमेशापरिभाषित किया जा सकता है चाहे वह सच हो या झूठ।
एक नियम के रूप में, हम एक प्राकृतिक भाषा पाठ के रूप में एक वास्तविक कार्य प्राप्त करते हैं। और इसके समाधान के साथ आगे बढ़ने से पहले, हमें उनके बीच सरल कथनों, संबंधों (कनेक्शन) को अलग करना चाहिए और उन्हें सूत्रों की भाषा में अनुवाद करना चाहिए (समस्या की स्थिति को औपचारिक रूप देना, रूप निर्धारित करना)। आइए जटिल बयानों को औपचारिक रूप देने के उदाहरण देखें।
एक जटिल कथन का रूप निर्धारित करें
उदाहरण 1. ई = "आपका आगमन न तो आवश्यक है और न ही वांछनीय" यौगिक कथन: ए = "आपका आगमन आवश्यक है"; बी = "आपकी यात्रा का स्वागत है"
उत्तर: ई = नहीं (ए) और नहीं (बी .))
उदाहरण 2. ई \u003d "दुश्मन की तलाश तीन घंटे तक चली, लेकिन कोई परिणाम नहीं आया, दुबके हुए दुश्मन ने खुद को दूर नहीं किया" समग्र बयान: ए \u003d "दुश्मन की तलाश तीन घंटे तक चली" बी \ u003d "दुश्मन मिल गया (एक परिणाम है)" सी \u003d " दुश्मन ने खुद को धोखा दिया है।"उत्तर: ई = नहीं (सी) → ए और नहीं (बी)
उदाहरण 3. ई = "अगर कल बादल थे, तो आज सूरज चमक रहा है" ए = "कल बादल छाए हुए थे"; बी = "आज सूरज चमक रहा है"
उत्तर: ई = ए → बी
तार्किक संचालन प्राथमिकता
एक विज्ञान के रूप में तर्क;
प्रस्तावक बीजगणित;
तार्किक संचालन;
तर्क कार्य;
तार्किक संचालन की प्राथमिकता;
समान रूप से सत्य और समान रूप से झूठे संचालन;
तर्क के बीजगणित के बुनियादी नियम;
तार्किक कानूनों का प्रमाण;
सबसे सरल सूचना कन्वर्टर्स;
गृहकार्य।
तार्किक अभिव्यक्तियों के मूल्यों का मूल्यांकन उनकी प्राथमिकता के अनुसार एक निश्चित क्रम में किया जाता है:
- उलटा
- संयोजक
- वियोजन
- निहितार्थ और तुल्यता
एक ही प्राथमिकता के संचालन को बाएं से दाएं निष्पादित किया जाता है। के लिये पुनर्व्यवस्थाक्रियाओं का उपयोग किया जाता है कोष्टक.
उदाहरण 1: ए वी (बी→ सी) और डी = नहीं (ए)
निष्पादन का क्रम:
नहीं (ए) - उलटा
पर → सी - निहितार्थ
(पर → सी) और डी - संयोजन
ए वी (बी → सी) और डी - विघटन
ए वी (बी → सी) और डी = नहीं (ए) -समतुल्यता
आइए कथन के लिए एक सत्य तालिका बनाएं
ई = (ए वी नहीं(बी)) → नहीं(सी)
बयान ई में तीन चर शामिल हैं: ए, बी, सी (एन = 3) और चार तार्किक संचालन: उलटा बी, उलटा सी, विघटन, निहितार्थ।
ट्रुथ टेबल में 2 3 + 2 (हेडर) = 8 +2 = 10 पंक्तियाँ और 3 + 4 = 7 कॉलम होंगे
|
ए वी नहीं (बी) → नहीं (सी) |
||||||
समान रूप से सत्य और समान रूप से असत्य कथन
एक विज्ञान के रूप में तर्क;
प्रस्तावक बीजगणित;
तार्किक संचालन;
तर्क कार्य;
तार्किक संचालन की प्राथमिकता;
समान रूप से सत्य और समान रूप से झूठे संचालन;
तर्क के बीजगणित के बुनियादी नियम;
तार्किक कानूनों का प्रमाण;
सबसे सरल सूचना कन्वर्टर्स;
गृहकार्य।
यदि एक यौगिक कथन उसके घटक चरों के सभी मानों के लिए सत्य है, तो ऐसे कथन को IDENTICALLY TRUE या एक तनातनी (स्थिर 1 द्वारा निरूपित) कहा जाता है।
उदाहरण के लिए कथन: "लोकतांत्रिक वह व्यक्ति होता है जो लोकतांत्रिक मान्यताओं को मानता है"हमेशा सत्य होता है, अर्थात यह एक तनातनी है।
सभी गणितीय, भौतिक और अन्य नियम तनातनी हैं। उदाहरण के लिए: (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
कल के लिए मौसम का पूर्वानुमान हो सकता है, उदाहरण के लिए: "बारिश होगी या बारिश नहीं होगी।"ऐसी भविष्यवाणी हमेशा सच होगी, हालांकि यह किसी के अनुकूल होने की संभावना नहीं है। उनका गणितीय संकेतन:
ए वी नहीं (ए) \u003d 1
(बहिष्कृत मध्य के कानून के अनुसार, या तो कोई निर्णय या उसका निषेध हमेशा सत्य होना चाहिए)।
आप सत्य तालिका का उपयोग करके जांच सकते हैं कि एक जटिल कथन समान रूप से सत्य है या नहीं।
यदि कोई जटिल कथन उसमें शामिल चरों के सभी मानों के लिए असत्य है, तो ऐसे कथन को IDENTICALLY FALSE (स्थिर 0 से निरूपित) कहा जाता है।
उदाहरण के लिए, कथन: "आज बुधवार है, और यह सप्ताह का दूसरा दिन है" समान रूप से गलत है। निम्नलिखित कथन समान रूप से गलत है: "कंप्यूटर चालू है और कंप्यूटर चालू नहीं है (बंद)"। इसका गणितीय अंकन इस प्रकार है:
ए और नहीं (ए) = 0
(विरोधाभास के नियम के अनुसार: एक कथन और उसका निषेध एक ही समय में सत्य नहीं हो सकता।)
यदि जटिल कथनों के मान उनमें शामिल चरों के सभी संभावित मानों के लिए समान हैं, तो ऐसे कथनों को समान, समान, समान कहा जाता है
सरलीकरणजटिल कथन हैं प्रतिस्थापनबयान एक समकक्ष करने के लिएउसे प्रस्तावक बीजगणित के नियमों के आधार पर
तर्क बीजगणित के मूल नियम (समतुल्यता)
एक विज्ञान के रूप में तर्क;
प्रस्तावक बीजगणित;
तार्किक संचालन;
तर्क कार्य;
तार्किक संचालन की प्राथमिकता;
समान रूप से सत्य और समान रूप से झूठे संचालन;
तर्क के बीजगणित के बुनियादी नियम;
तार्किक कानूनों का प्रमाण;
सबसे सरल सूचना कन्वर्टर्स;
गृहकार्य।
तार्किक समस्याओं को हल करते समय, सूत्रों को सरल बनाना अक्सर आवश्यक होता है। बूलियन बीजगणित में सूत्रों का सरलीकरण मूल नियमों के आधार पर समकक्ष परिवर्तनों पर आधारित है।
प्रस्तावक तर्क के नियम ऐसे भाव हैं जिनसे एक सच्चा प्रस्ताव हमेशा मेल खाता है, चाहे हम चर के बजाय मूल्यों का कोई भी प्रतिस्थापन क्यों न करें। प्रस्तावित बीजगणित में, तार्किक नियमों को सूत्रों के रूप में व्यक्त किया जाता है।
1.1. पहचान कानून:
प्रत्येक विचार स्वयं के समान होता है, अर्थात "A is A", जहाँ A कोई कथन है।
