Программа на с умножение матриц. Пошаговое руководство. Умножение матриц. Решение с использованием параллельных вычислений
Безусловно, по входным данным можно восстановить матрицы, тривиальным образом их перемножить и вывести результат в заданном виде. Как пример плохого стиля программирования: наивный алгоритм приводит к почти двукратному перерасходу потребляемой памяти и существенно уступает в производительности. Существует другое решение, прийти к которому можно путем последовательного приспособления стандартных матричных операций к формату входных данных.
Упражнения вестибула с шаблоном
Для этой цели используется принцип динамического программирования. В этом сообщении мы обсудим алгоритм умножения матриц вместе с его блок-схемой, который можно использовать для написания кода программирования для матричного умножения на любом языке высокого уровня.
Это поможет вам визуализировать рабочий механизм умножения матриц и понять, как писать код, следуя каким шагам. Поскольку матрица представляет собой набор чисел в прямоугольной форме, его процедура умножения не совпадает с умножением чисел. Существуют определенные различные правила, которые должны соблюдаться при умножении матрицы с помощью ручного метода и с помощью программирования.
Наибольшую сложность, как вычислительную, так и идейную, представляет умножение матриц, в данном случае — возведение в квадрат. Нижеприведенная последовательность шагов позволит перемножать симметричные матрицы, используя их линейное представление в формате исходных данных.
Замечание 1
Подпространство симметричных матриц незамкнуто относительно умножения: произведением двух симметричных матриц может быть несимметричная матрица.
Алгоритм умножения матриц
Итак, прежде чем перейти к алгоритму и блок-схеме матричного умножения, кратко рассмотрим, как выполняется матричное умножение. Если количество строк первой матрицы равно числу столбцов второй матрицы, перейдите к шагу. Распечатайте продукт в виде матрицы как консольный вывод.
- Проверяйте количество строк и столбец первой и второй матриц.
- Иначе, матрица печати умножение невозможно и перейдите к шагу.
- Умножьте матрицы с помощью вложенных циклов.
Пример
\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 0\end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{ccc} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 3 \\ 0 & 3 & 2 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{ccc} 4 & 13 & 9 \\ 4 & 31 & 22 \\ 12 & 20 & 15 \end{array} \right)
Замечание 2
Степень симметрической матрицы также является симметрической матрицей. Доказательство основано на представлении матрицы как представления линейного оператора и на свойствах эрмитовых операторов.
Изучение блок-схемы матричного умножения помогает программисту визуализировать поток управления во время выполнения программы. Вышеприведенный алгоритм и блок-схема могут быть использованы для понимания того, как написать программу для матричного умножения на любом языке программирования высокого уровня.
Матрицы можно умножить на скалярные константы аналогично умножению любого числа переменных на скалярную константу. Скалярная константа относится к любому числу; реальный или мнимый; положительное или отрицательное; целая или дробная, но не переменная.
Во всех дальнейших выкладках подразумевается, что матрица представлена линейным массивом из \frac{n(n+1)}{2} элементов.
Для начала, заметим, что элемент c_{i,j} матрицы C=A^{2}, равен скалярному произведению (как векторов в стандартном базисе) i-ой строки матрицы A на j-ую её строку (в силу того, что в симметричной матрице j-ая строка совпадает с j-м столбцом). Следовательно, для возведения в степень симметричной матрицы необходимо и достаточно реализовать операцию скалярного перемножения двух её строк.
Свойства умножения матрицы
Помимо умножения на скалярные константы, матрицы можно также умножить на другие матрицы. Однако матричное умножение не так прямолинейно, как регулярное умножение, должны соблюдаться определенные правила и должны выполняться определенные условия. Есть еще несколько свойств матричного умножения, и мы увидим их через некоторое время.
Правило для умножения матрицы
Другими словами, при умножении матрицы количество столбцов в левой части матрицы должно быть равно числу строк в матрице справа. Это, как мы увидим в какой-то момент, связано с тем, как умножаются матрицы. Это правило является причиной того, что матричное умножение не является коммутативным. Оптимальный способ проверить, можно ли умножить 2 матрицы на их размеры рядом друг с другом.
Тогда следует понять, как по данному представлению матрицы получить её i-ую строку. Для удобства, выпишем имеющиеся элементы в виде полной матрицы. Заметим, что первым элементом i-ой строки будет i-ый элемент первой строки, и обобщим это наблюдение. Обозначим позицию текущего интересующего нас элемента i-ой строки как j. Если j < i, то следует выбрать i-ый элемент j-ой строки, иначе следует выбрать все элементы j-ой строки, лежащие правее данного. Графически можно интерпретировать алгоритм таким образом: начиная с i-го элемента первой строки, спускаться вертикально вниз по матрице до тех пор, пока не будет достигнута i-ая строка, далее — двигаться вправо до конца строки. Наглядность алгоритма позволяет легко воплотить его программно.
Следует только пронаблюдать, как изменяются расстояния между элементами, лежащими один под другим, при движении вниз по строкам матрицы, что позволит легко перенести алгоритм на линейное представление верхней треугольной матрицы. Предлагаем читателю самому проделать это несложное, но наглядное упражнение, для лучшего понимания алгоритма.
Алгоритм для умножения матрицы
Если это не так, то не беспокойтесь об этом, просто скажите, что это невозможно. Матричное умножение следует тому же алгоритму, что и умножение векторов. Напомним, что вектор может быть строкой или столбцом, таким как. Всегда начинайте с установки матриц по мере необходимости, не смешивайте их порядок. Тогда возникает вопрос, что делать дальше!
Матричное умножение выполняется путем умножения строк на столбцы. В этом случае мы имеем только одну строку, но у нас есть четыре столбца. То, как мы это делаем, - это умножение всех строк на все столбцы как таковые. Добавим, потому что каждая запись в результирующей матрице представляет собой сумму умножения записей в строке и столбце для этой позиции.
Теперь можно перейти непосредственно к реализации.
Доброго времени суток всем. Недавно я опубликовал коротенькую , а сейчас пришло время для реализаций параллельных алгоритмов. Первым на очереди стоит простенький алгоритм перемножения матриц, он очень хорошо подходит для распараллеливания, потому что состоит из трех вложенных циклов.
Поэтому теперь мы можем сказать, что, когда вы умножаете две матрицы, их произведение будет иметь такое же количество строк, что и матрицы слева и того же числа столбцов, что и матрица справа. Это всегда верно для любого матричного умножения. Итак, теперь у нас есть четыре строки и четыре столбца.
Каждая строка умножает каждый столбец и дает одну запись, соответствующую этой позиции. Давайте теперь рассмотрим другой пример, чтобы еще раз иллюстрировать умножение матрицы. Требуется некоторое время, чтобы привыкнуть ко всему процессу умножения матриц, но трюк состоит в том, чтобы сделать как можно больше примеров. Ниже приведены несколько примеров.
Вряд ли кто-нибудь сможет лучше описать алгоритм умножения матриц, чем статья на википедии. Поэтому прикрепляю скриншот и сразу перехожу к реализации.
Реализация алгоритма умножения матриц на C/C++
Пусть матрица хранится в двумерном массиве int **matrix , и доступ к элементам осуществляется двойным индексом matrix[i][j] . Для начала произведем простенькую проверку на то, что матрицы согласованы, после этого можно выделить память и выполнить умножение по формуле.
Примеры умножения матрицы
Затем мы выполняем фактическое умножение. Эта документация архивирована и не обрабатывается. Представлены два алгоритма: один без плитки и один с черепицей. В обозревателе решений откройте контекстное меню исходного файла и нажмите «Добавить новый элемент». Нажмите кнопку «Далее». . Плитка - это метод, при котором разделы подразделяются на подмножества одинакового размера, известные как плитки. При использовании плитки меняется три вещи.
Здесь мы хотим иметь дело исключительно со вторым случаем. Конечно, первое применение этой функции программного обеспечения заключается в создании приятных рабочих листов в представлении, где формулы также записываются так, как это принято в математических текстах.
//Производит умножение матрицы размером n1 x m1 //на матрицу размером n2 x m2 int** matrixMulti(int **matrix1, int n1, int m1, int **matrix2, int n2, int m2) { //Если матрицы не согласованы, то не выполняем умножение if(m1 != n2) { cout << "Error! m1 != n2" << endl; return NULL; } //Выделяем память под результат умножения int **result; result = (int**)malloc(sizeof(int*)*n1); for(int i = 0; i < n1; i++) { result[i] = (int*)malloc(sizeof(int)*m2); } //Умножение по формуле for(int i = 0; i < n1; i++) { for(int j = 0; j < m2; j++) { result[i][j] = 0; for(int k = 0; k < m1; k++) { result[i][j] += (matrix1[i][k] * matrix2[k][j]); } } } return result; }
Здесь, однако, мы хотим воспользоваться этой особенностью программного обеспечения для создания интересных учебных приложений. По сути, текстовые части должны быть заключены в двойные кавычки, динамические части должны быть вставлены с их именем без кавычек; текстовые части и динамические переменные объединяются с знаком. Обратите внимание, что даже пробел после двух точек и конечная точка предложения вставляются между двойными кавычками, так как это чистый текст.
Мы можем выбрать, делать ли вычисления для получения суммы или продукта с использованием новых переменных или делать их непосредственно в текстовых полях. В качестве примера мы будем следовать первому пути для продукта, а второй - для суммы. \\ влево.
Реализация параллельного умножения матриц на C/C++
Нам не придется писать большое количество кода благодаря тому, что мы будем оперировать потоками с общей памятью, а не процессами, как в MPI. Вся суть распараллеливания состоит в том, чтобы дописать директиву #pragma omp parallel for перед внешним циклом. После этого нужное нам количество потоков автоматически разберет вычислительные задачи на себя.
Наблюдая, что мы должны написать две входные матрицы, разделенные знаком добавления и выходной матрицей, элементами которой будут суммы элементов двух входных матриц, мы получаем следующий код. Как уже упоминалось, для продукта мы будем выполнять вычисления с новыми переменными, чтобы упростить код, который будет написан в текстовом поле. Итак, в окне алгебраического ввода мы будем писать последовательно.
На этом этапе мы готовы ввести код продукта для двух матриц. Определитель массива \\ можно вычислить по правилу Лапласа, развивающемуся по элементам первой строки. Мы перечислим ее ниже для полноты.
- Сумма матриц \\.
- Матричный продукт \\.
- Скалярная множественная матрица \\.
Прилагаю исходный код с функцией случайной генерации матрицы и непосредственно самим параллельным алгоритмом их умножения.
#include
Будут два алгоритма: один из них не использует плитку, а другой - плитки. В окне обозревателя решений откройте всплывающее меню в разделе «Исходные файлы», а затем выберите «Добавить» и «Новый элемент». Использование плитки - это метод, который делит данные на подмножества того же размера, известные как плитки.
Чтобы остановить все потоки в одном фрагменте на определенной строке кода, вы можете вызвать метод. Использование локального индекса может привести к упрощению чтения и отладки кода. В этом примере матрица делится на субматери того же размера. Результат вычисляется путем умножения подкаста.
Заключение
Кажется, что ничего и не сделали, но если внимательно проследить за диспетчером() задач во время исполнения, становится видно, как нагрузка распределяется по ядрам процессора. В скором времени опубликую еще реализации параллельных алгоритмов с помощью OpenMP, подписывайтесь на обновления по электронной почте. А на сегодня у меня все, спасибо за внимание!
Матрицы и их результат в этом примере. Чтобы быстро вычислить алгоритм, вычислите значение элемента в первой строке первого столбца результата. Код для реализации этого алгоритма. Чтобы выйти из приложения, используйте пробел. Матрица чаще всего записывается как таблица чисел, ограниченная скобками.
Это первый элемент первой строки, второй элемент второй строки и т.д. Матрица € е, где € т = п ^, называется квадратной матрицей. Матрица любого типа, которая имеет все элементы всех строк, равных нулю, называется нулевой матрицей. Пусть А - матрица с элементами е и €. Транспонирование матрицы означает замену ее строк и столбцов. Матрица умножается на константу, умножая каждый элемент на ту же константу.
